Represente os limites de integração de
integral duplaD x raizy d x d y
onde D é a figura limitada pelas curvas y=x^2, y=1-x^2, x=0 e x=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos os limites de integração para a integral dupla , onde a região é limitada pelas curvas , , e . Vamos precisar entender como essas curvas se comportam e como elas delimitam a área de integração. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e encontrar os pontos onde elas se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar ou imaginar as curvas para entender melhor a região . A curva é uma parábola que abre para cima, e é uma parábola que abre para baixo. As retas verticais e vão nos ajudar a limitar a região horizontalmente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas x^2 = 1 - x^2 e 2x^2 = 1 implies x^2 = 12 implies x = pm raiz22 . Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Como estamos considerando entre 0 e 1, vamos usar .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, podemos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiramente em relação a (de a ) e, para cada , vai variar entre a parábola de baixo e a parábola de cima .

Resposta

Os limites de integração são:
0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= 1 - x^2

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