Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(j) integral0^2 x^2 ln x d x
(u) integral0^infty(y^2-3 y^3) d y

Passo 1

Temos duas integrais impróprias: integral0^2x^2ln x,dx e integral0^infty(y^2-3y^3),dy. O conteúdo envolve teste de convergência em limites impróprios e integração por partes.

Passo 2

Para integral0^2x^2ln x,dx, o ponto crítico é x=0. Como x^2ln x tende a zero quando xto0^+ e o expoente 2 satisfaz a condição de convergência (pois 2>-1), a integral converge no limite inferior. Para calcular, usamos integração por partes com u=ln x e dv=x^2dx, obtendo:
integral x^2ln x,dx=x^33ln x-integralx^33cdot1x,dx=x^33ln x-13integral x^2,dx=x^33ln x-x^39+C
Agora avaliamos de 0 a 2. Para x=2 temos tfrac83ln2-tfrac89. Para xto0 ambos os termos vão a zero. Logo
integral0^2x^2ln x,dx=83ln2-89

Passo 3

Na integral integral0^infty(y^2-3y^3),dy, o comportamento em ytoinfty é dominado por -3y^3. A primitiva cresce em módulo como -tfrac3y^44to-infty, portanto essa integral diverge no limite superior.

Resposta

integral0^2x^2ln x,dx converge e vale 83ln2-89. integral0^infty(y^2-3y^3),dy diverge.

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