(valor: 1,5 ) Para resolver uma integral
, um aluno fez uso da seguinte substituição trigonométrica:
. No decorrer das contas, ele concluiu que
em que
é a constante de integração. Indique qual das alternativas abaixo representa a resposta da integral, justificando sua resposta.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resolver uma integral usando uma substituição trigonométrica. A gente tem a integral $ I = \int f(x) , dx $ e o aluno usou a substituição $ x = \frac{5 \tan \theta}{3} $. Depois das contas, ele chegou a $ I = \theta + \frac{\sin(4\theta)}{4} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Nosso objetivo é verificar se a alternativa (a):
é realmente a resposta correta da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição trigonométrica que o aluno usou: $ x = \frac{5 \tan \theta}{3} $. Isso significa que estamos relacionando $ x $ com o ângulo $ \theta $ usando a tangente. Vamos desenhar um triângulo retângulo para facilitar:
- Cateto oposto: $ 3x $ (porque $ x = \frac{5 \tan \theta}{3} $ implica $ \tan \theta = \frac{3x}{5} $)
- Cateto adjacente: $ 5 $
- Hipotenusa: $ \sqrt{25 + 9x^{2}} $ (pela fórmula de Pitágoras)
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \sin \theta $ e $ \cos \theta $ a partir do triângulo:
Passo 4
A expressão do aluno ficou $ I = \theta + \frac{\sin(4\theta)}{4} + C $. Vamos substituir $ \theta $ por $ \arctan\left(\frac{3x}{5}\right) $:
Agora, precisamos expressar $ \sin(4\theta) $ em termos de $ x $.
Passo 5
Usando a fórmula da identidade trigonométrica para $ \sin(4\theta) $:
Mas uma forma mais direta é usar múltiplas identidades:
E sabemos que:
Calculando passo a passo:
Então,
Portanto,
Passo 6
Agora, substituindo de volta na expressão de $ I $:
Vamos comparar essa expressão com a alternativa (a):
Percebemos que no termo fracionário, no denominador da opção (a), está $ \sqrt{(25 + 9x{2}){3}} = (25 + 9x{2}){3/2} $, enquanto na nossa resolução ficou $ (25 + 9x{2}){2} $. Essas duas expressões não são equivalentes, pois $ (25 + 9x{2}){2} \neq (25 + 9x{2}){3/2} $.
Passo 7
Portanto, a alternativa (a) não representa corretamente a resposta da integral. A expressão correta da integral, após a substituição trigonométrica e simplificações, é:
Resposta
A alternativa não representa corretamente a resposta da integral. A expressão correta é: