(valor: 1,5 ) Para resolver uma integral I=integral f(x) d x, um aluno fez uso da seguinte substituição trigonométrica: x=5 tan theta3. No decorrer das contas, ele concluiu que I=theta+sen(4 theta)4+C em que C é a constante de integração. Indique qual das alternativas abaixo representa a resposta da integral, justificando sua resposta.
(a) I=arctan (3 x5)+375 x-135 x^3raiz(25+9 x^2)^3+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resolver uma integral usando uma substituição trigonométrica. A gente tem a integral $ I = \int f(x) , dx $ e o aluno usou a substituição $ x = \frac{5 \tan \theta}{3} $. Depois das contas, ele chegou a $ I = \theta + \frac{\sin(4\theta)}{4} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Nosso objetivo é verificar se a alternativa (a):
I = integral f(x) , dx
é realmente a resposta correta da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição trigonométrica que o aluno usou: $ x = \frac{5 \tan \theta}{3} $. Isso significa que estamos relacionando $ x $ com o ângulo $ \theta $ usando a tangente. Vamos desenhar um triângulo retângulo para facilitar:
  • Cateto oposto: $ 3x $ (porque $ x = \frac{5 \tan \theta}{3} $ implica $ \tan \theta = \frac{3x}{5} $)
  • Cateto adjacente: $ 5 $
  • Hipotenusa: $ \sqrt{25 + 9x^{2}} $ (pela fórmula de Pitágoras)

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \sin \theta $ e $ \cos \theta $ a partir do triângulo:
sin theta
cos theta

Passo 4

A expressão do aluno ficou $ I = \theta + \frac{\sin(4\theta)}{4} + C $. Vamos substituir $ \theta $ por $ \arctan\left(\frac{3x}{5}\right) $:
I = theta + sin(4theta)4 + C
Agora, precisamos expressar $ \sin(4\theta) $ em termos de $ x $.

Passo 5

Usando a fórmula da identidade trigonométrica para $ \sin(4\theta) $:
sin(4theta)
Mas uma forma mais direta é usar múltiplas identidades:
sin(4theta) = 2 tan(2theta)1 + tan^2(2theta)
E sabemos que:
sin(4theta) = 2 sin(2theta) cos(2theta)
sin(2theta) = 2 sin theta cos theta1
Calculando passo a passo:
cos(2theta) = cos^2theta - sin^2theta
sin(2theta) = 2 cdot 3xraiz25 + 9x^2 cdot 5raiz25 + 9x^2 = 30x25 + 9x^2
Então,
cos(2theta) = (5raiz25 + 9x^2)^2 - (3xraiz25 + 9x^2)^2 = 25 - 9x^225 + 9x^2
Portanto,
sin(4theta) = 2 cdot 30x25 + 9x^2 cdot 25 - 9x^225 + 9x^2 = 60x(25 - 9x^2)(25 + 9x^2)^2

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão de $ I $:
I
Vamos comparar essa expressão com a alternativa (a):
I = arctan(3x5) + 375x - 135x^3(25 + 9x^2)^2 + C
Percebemos que no termo fracionário, no denominador da opção (a), está $ \sqrt{(25 + 9x{2}){3}} = (25 + 9x{2}){3/2} $, enquanto na nossa resolução ficou $ (25 + 9x{2}){2} $. Essas duas expressões não são equivalentes, pois $ (25 + 9x{2}){2} \neq (25 + 9x{2}){3/2} $.

Passo 7

Portanto, a alternativa (a) não representa corretamente a resposta da integral. A expressão correta da integral, após a substituição trigonométrica e simplificações, é:
I = arctan(3x5) + 375x - 135x^3(25 + 9x^2)^2 + C

Resposta

A alternativa não representa corretamente a resposta da integral. A expressão correta é:
I = arctan(3x5) + 375x - 135x^3(25 + 9x^2)^2 + C

Exercícios relacionados