- (2,5 pontos) Resolva as equações via coeficientes indeterminados;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação $ y’’ + 4y = x^{2} \sin 2x $ usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso significa que vamos encontrar uma solução geral para a equação diferencial linear não homogênea. Para isso, precisamos entender um pouco sobre soluções complementares e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + 4y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ para a equação não homogênea $ y’’ + 4y = x^{2} \sin 2x $. Usando o método dos coeficientes indeterminados, assumimos uma forma para $ y_{p}(x) $ baseada na forma do termo do lado direito.
Como o lado direito é $ x^{2} \sin 2x $, nossa suposição inicial para $ y_{p}(x) $ seria:
No entanto, notamos que $ \sin 2x $ e $ \cos 2x $ já são soluções da equação homogênea. Para evitar a duplicação e garantir a linearidade, multiplicamos nossa suposição por $ x $:
Passo 4
Agora, precisamos derivar $ y_{p}(x) $ duas vezes e substituir na equação original $ y’’ + 4y = x^{2} \sin 2x $. Depois, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver os valores de $ A, B, C, D, E $ e $ F $.
Esse processo envolve:
- Calcular $ y_{p}’(x) $ e $ y_{p}’’(x) $.
- Substituir $ y_{p} $ e $ y_{p}’’ $ na equação original.
- Simplificar e agrupar os termos por potências de $ x $ e funções trigonométricas.
- Resolver o sistema de equações resultante para encontrar os coeficientes desconhecidos.
Passo 5
Depois de encontrar os valores de $ A, B, C, D, E $ e $ F $, substituímos esses valores na expressão de $ y_{p}(x) $. Então, a solução geral da equação diferencial será a soma da solução complementar com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ + 4y = x^{2} \sin 2x $ é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias, e $ A, B, C, D, E $, e $ F $ são coeficientes determinados pelo método dos coeficientes indeterminados.