1. ( 3,0 pontos) Resolva as equações via coeficientes variáveis:
    x^- y^prime prime+x y^prime-y=ln x

Passo 1

A equação que temos é do tipo de Euler (Cauchy–Euler):
x^2 y'' + x y' - y = ln x
Para resolver isso, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois usar o método de variação de parâmetros para a parte não-homogênea. Precisamos conhecer a fórmula do polinômio característico de Euler e o processo de variação de constantes.

Passo 2

Começando pela equação homogênea:
x^2 y'' + x y' - y = 0
assumimos uma solução do tipo y=x^r. Substituindo, obtemos o polinômio característico:
r(r-1) + r - 1 = r^2 - 1 = 0
Logo, r=1 e r=-1. A solução homogênea é
yh = C1 x + C2 x^-1

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, escrevemos a equação em forma padrão dividindo por x^2:
y'' + 1x y' - 1x^2y = ln xx^2
As duas soluções encontradas são y1=x e y2=x^-1. Calculamos o Wronskiano:
W = x & x^-11 & -x^-2 = -2x^-1
As fórmulas para as derivadas das constantes são
$$
u_1’ = -\frac{y_2,R(x)}{W},\qquad \nu_2’ = \frac{y_1,R(x)}{W},$$
onde u1' = -y2,R(x)W, nu2' = y1,R(x)W,.

Passo 4

Substituindo em nu1' e nu2' dá:
nu1' = ln x2x^2, nu2' = -ln x2
Agora integramos:
nu1 = integral ln x2x^2,dx = -ln x2x - 12x,
nu2 = integral -ln x2,dx = -xln x2 + x2

Passo 5

A solução particular é
yp = nu1 y1 + nu2 y2 = l(-ln x2x-12xr)x + l(-xln x2+ x2r)x^-1 = -ln x
Portanto, a solução geral da equação original é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x)=C1x + C2x^-1 - ln x.

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