Determine se cada integral é convergente ou divergente.
\int_{4}^{5} \frac{d x}{\sqrt[5]{(5-x)^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral impropria
\int_{4}^{5} \frac{dx}{\sqrt[5]{(5-x)^{2}}}
é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O intervalo de integração é [4,5].
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt[5]{(5-x)^{2}}}, que podemos reescrever como (5-x)^{-2/5}.
  • Há um ponto potencialmente problemático em x=5, pois (5-x) se anula aí e o integrando pode ficar singular.
    A tarefa é decidir se a integral imprópria (devido ao ponto x=5) converge para um número finito ou diverge.

Passo 2

Identificar que tipo de integral estamos tratando e como formalizar a integral impropria.
  • Como o integrando tem singularidade em x=5 (extremo superior), a integral é impropria e deve ser entendida como limite:
\int_{4}^{5} (5-x)^{-2/5}\,dx \;=\; \lim_{b\to5^-}\int_{4}^{b} (5-x)^{-2/5}\,dx.
Para estudar a convergência é suficiente analisar o comportamento do integrando quando x se aproxima de 5 pela esquerda, ou seja, estudar a integral próxima de x=5.

Passo 3

Fazer uma substituição que torne a singularidade explícita e transformá-la num caso padrão.
  • Use a substituição u=5-x. Então du=-dx, ou dx=-du.
  • Quando x=4 temos u=5-4=1. Quando x\to5^{-} temos u\to0^{+}.
    Aplicando a substituição:
\int_{4}^{5} (5-x)^{-2/5}\,dx = \int_{u=1}^{u=0} u^{-2/5}(-du) = \int_{0}^{1} u^{-2/5}\,du.
Assim reduzimos o problema a analisar a integral padrão na vizinhança de u=0:
\int_{0}^{1} u^{-2/5}\,du.

Passo 4

Lembrar e demonstrar o teste padrão (integral p) para singulares em zero.
  • Considere a integral geral
\int_{0}^{1} u^{-p}\,du,
com p\in\mathbb{R}. Para p\neq1 a antiderivada é
\int u^{-p}\,du = \frac{u^{1-p}}{1-p}.
  • Avaliando de \varepsilon a 1 e tomando \varepsilon\to0^{+}:
\int_{\varepsilon}^{1} u^{-p}\,du = \frac{1^{1-p}-\varepsilon^{1-p}}{1-p}.
Se 1-p>0 (isto é, p<1) então \varepsilon^{1-p}\to0 quando \varepsilon\to0^{+} e a integral tende a \dfrac{1}{1-p}, finita — convergente. Se 1-p\le0 (isto é, p\ge1) então \varepsilon^{1-p} não tende a 0 (diverge para +\infty ou fica constante quando p=1), e a integral diverge.
  • Portanto a regra prática: a integral \int_{0}^{1} u^{-p}\,du converge se, e somente se, p<1.

Passo 5

Aplicar o teste ao nosso caso particular.
  • No nosso integral transformado temos u^{-2/5}, ou seja p=\tfrac{2}{5}.
  • Como \tfrac{2}{5}<1, pela regra do passo anterior a integral
\int_{0}^{1} u^{-2/5}\,du
converge.

Passo 6

Calcular o valor da integral (não obrigatório para decidir convergência, mas instrutivo).
  • Use a antiderivada com p=\tfrac{2}{5}. Temos 1-p = 1-\tfrac{2}{5}=\tfrac{3}{5}. Então
\int_{0}^{1} u^{-2/5}\,du = \left.\frac{u^{1-2/5}}{1-2/5}\right|_{0}^{1} = \left.\frac{u^{3/5}}{3/5}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3/5}-0^{3/5}}{3/5} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}.
Portanto a integral impropria original não só converge como tem valor finito \dfrac{5}{3}.

Resposta

Convergente; \dfrac{5}{3}

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