Determine se cada integral é convergente ou divergente. \int_{4}^{5} \frac{d x}{\sqrt[5]{(5-x)^{2}}} d x
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral impropria
\int_{4}^{5} \frac{dx}{\sqrt[5]{(5-x)^{2}}}
é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O intervalo de integração é [4,5].
O integrando é \dfrac{1}{\sqrt[5]{(5-x)^{2}}}, que podemos reescrever como (5-x)^{-2/5}.
Há um ponto potencialmente problemático em x=5, pois (5-x) se anula aí e o integrando pode ficar singular.
A tarefa é decidir se a integral imprópria (devido ao ponto x=5) converge para um número finito ou diverge.
Passo 2
Identificar que tipo de integral estamos tratando e como formalizar a integral impropria.
Como o integrando tem singularidade em x=5 (extremo superior), a integral é impropria e deve ser entendida como limite:
Para estudar a convergência é suficiente analisar o comportamento do integrando quando x se aproxima de 5 pela esquerda, ou seja, estudar a integral próxima de x=5.
Passo 3
Fazer uma substituição que torne a singularidade explícita e transformá-la num caso padrão.
Use a substituição u=5-x. Então du=-dx, ou dx=-du.
Quando x=4 temos u=5-4=1. Quando x\to5^{-} temos u\to0^{+}.
Aplicando a substituição:
Se 1-p>0 (isto é, p<1) então \varepsilon^{1-p}\to0 quando \varepsilon\to0^{+} e a integral tende a \dfrac{1}{1-p}, finita — convergente. Se 1-p\le0 (isto é, p\ge1) então \varepsilon^{1-p} não tende a 0 (diverge para +\infty ou fica constante quando p=1), e a integral diverge.
Portanto a regra prática: a integral \int_{0}^{1} u^{-p}\,du converge se, e somente se, p<1.
Passo 5
Aplicar o teste ao nosso caso particular.
No nosso integral transformado temos u^{-2/5}, ou seja p=\tfrac{2}{5}.
Como \tfrac{2}{5}<1, pela regra do passo anterior a integral
\int_{0}^{1} u^{-2/5}\,du
converge.
Passo 6
Calcular o valor da integral (não obrigatório para decidir convergência, mas instrutivo).
Use a antiderivada com p=\tfrac{2}{5}. Temos 1-p = 1-\tfrac{2}{5}=\tfrac{3}{5}. Então