Determine, em cada item abaixo, a matriz associada à transformação linear T com relação às bases \alpha e \beta.
T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) definida por T\left(x t^{2}+y t+z\right)=\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & x+y-z\end{array}\right),
\alpha=\left\{t+1, t+2, t^{2}\right\} \text { e } \beta \text { é a base canônica de } M_{2}(\mathbb{R}) \text { . }éô

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}),\quad T\bigl(x t^{2}+y t+z\bigr)= \begin{pmatrix} x & y\\\ z & x+y-z \end{pmatrix},
e pede sua matriz em relação à base \alpha=\{t+1,\;t+2,\;t^{2}\} de P_{2}(\mathbb{R}) e à base canônica \beta=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} de M_{2}(\mathbb{R}).
Para obter essa matriz, aplicamos T em cada vetor de \alpha e escrevemos o resultado em coordenadas na base \beta.

Passo 2

Aplicando T em v_{1}=t+1, temos x=0, y=1, z=1, então
T(t+1) =\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0+1-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =0\,E_{11}+1\,E_{12}+1\,E_{21}+0\,E_{22}.
Logo, a primeira coluna da matriz de T é \bigl(0,1,1,0\bigr)^{T}.

Passo 3

Para v_{2}=t+2, temos x=0, y=1, z=2, logo
T(t+2) =\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&0+1-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&-1\end{pmatrix} =0\,E_{11}+1\,E_{12}+2\,E_{21}+(-1)\,E_{22}.
A segunda coluna é, portanto, \bigl(0,1,2,-1\bigr)^{T}.

Passo 4

Para v_{3}=t^{2}, temos x=1, y=0, z=0, então
T(t^{2}) =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1+0-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =1\,E_{11}+0\,E_{12}+0\,E_{21}+1\,E_{22}.
A terceira coluna é \bigl(1,0,0,1\bigr)^{T}.

Passo 5

Juntando as colunas obtidas, a matriz de T relativa a \alpha e \beta é
[T]_{\alpha}^{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\alpha}^{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

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