Verifique, em cada item a seguir, se a transformação linear T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine a transformação inversa de T.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que T(1,2,1)=(1,2,3), T(0,1,0)=(2,1,5) e T(0,4,1)=(0,3,2).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
definida pelos valores em três vetores
v_{1}=(1,2,1),\quad v_{2}=(0,1,0),\quad v_{3}=(0,4,1)
com
T(v_{1})=(1,2,3),\quad T(v_{2})=(2,1,5),\quad T(v_{3})=(0,3,2).
O conteúdo que vamos usar é: uma transformação linear é isomorfismo se e somente se ela leva uma base em outra base. Então precisamos (1) verificar se \{v_1,v_2,v_3\} é base de \mathbb{R}^3, (2) verificar se \{T(v_1),T(v_2),T(v_3)\} também é base, e em caso afirmativo (3) achar explicitamente T^{-1}.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante de B é
\det B =1\cdot\bigl(1\cdot1-4\cdot0\bigr)-0+\;0 =1\neq0.
Logo \{v_1,v_2,v_3\} é um conjunto de três vetores LI em \mathbb{R}^3, portanto é base.

Passo 3

Agora montamos a matriz cujas colunas são as imagens:
C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det C =1\bigl(1\cdot2-3\cdot5\bigr) -2\bigl(2\cdot2-3\cdot3\bigr) +0 =-13-2(-5) =-13+10 =-3\neq0.
Como \det C\neq0, \{T(v_1),T(v_2),T(v_3)\} também é base de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Concluímos que T leva base em base, portanto é isomorfismo.

Passo 5

Para achar T^{-1}, escrevemos um vetor genérico (x,y,z) como combinação linear das colunas de C:
(x,y,z) =a\,(1,2,3)+b\,(2,1,5)+c\,(0,3,2).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a+2b &=x,\\\\ 2a+b+3c &=y,\\\\ 3a+5b+2c &=z. \end{cases}
Resolvendo por eliminação, obtemos
a=\frac{13x+4y-6z}{3},\quad b=\frac{-5x-2y+3z}{3},\quad c=\frac{-7x-y+3z}{3}.
Então
T^{-1}(x,y,z) = a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 =(a,\,2a,\,a)+(0,b,0)+(0,4c,c).
Somando componentes, chega-se a
T^{-1}(x,y,z) =\Bigl(\frac{13x+4y-6z}{3},\, \frac{-7x+2y+3z}{3},\, 2x+y-z\Bigr).

Resposta

T é um isomorfismo e
T^{-1}(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{13x+4y-6z}{3},\;\tfrac{-7x+2y+3z}{3},\;2x+y-z\Bigr).

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