Verifique, em cada item a seguir, se a transformação linear
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine a transformação inversa de
.
, tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos verificar se
é isomorfismo (isto é, bijetiva) e, em caso afirmativo, encontrar
. Para isso usaremos noções de núcleo, posto e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Vamos mostrar que
. Se
(o polinômio nulo), então os coeficientes de
,
e termo constante são zero:
Da primeira equação vem
. Substituindo em
dá
. Finalmente em
vem
. Logo só o vetor nulo vai para zero, o que mostra que
é injetiva. Como
, injetividade implica que
é um isomorfismo.
Passo 3
Para obter a inversa, escrevemos um polinômio genérico de grau
como
e igualamos a
. Assim formamos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema em função de
:
- Da primeira equação
. - Substituindo em
obtemos . - Finalmente
.
Portanto, a inversa
leva
em
Resposta
Sim,
é um isomorfismo. A inversa é dada por