Verifique, em cada item a seguir, se a transformação linear T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine a transformação inversa de T.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), tal que T(x, y, z)=2 x t^{2}+(4 x-y) t+2 x+3 y-z.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to P_{2}(\mathbb{R}),\quad T(x,y,z)=2x\,t^{2}+(4x-y)\,t+(2x+3y-z).
Queremos verificar se T é isomorfismo (isto é, bijetiva) e, em caso afirmativo, encontrar T^{-1}. Para isso usaremos noções de núcleo, posto e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Vamos mostrar que \ker T=\{(0,0,0)\}. Se T(x,y,z)=0 (o polinômio nulo), então os coeficientes de t^2, t e termo constante são zero:
2x=0,\quad 4x-y=0,\quad 2x+3y-z=0.
Da primeira equação vem x=0. Substituindo em 4x-y=0 y=0. Finalmente em 2x+3y-z=0 vem z=0. Logo só o vetor nulo vai para zero, o que mostra que T é injetiva. Como \dim\mathbb{R}^3=\dim P_{2}=3, injetividade implica que T é um isomorfismo.

Passo 3

Para obter a inversa, escrevemos um polinômio genérico de grau <=2 como
p(t)=a\,t^2+b\,t+c
e igualamos a T(x,y,z). Assim formamos o sistema
a=2x,\quad b=4x-y,\quad c=2x+3y-z.

Passo 4

Resolvendo o sistema em função de (a,b,c):
  1. Da primeira equação x=\tfrac{a}{2}.
  2. Substituindo em b=4x-y obtemos y=4\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)-b=2a-b.
  3. Finalmente z=2x+3y-c = a + 3(2a - b) - c = 7a - 3b - c.
Portanto, a inversa T^{-1} leva
p(t)=a\,t^2+b\,t+c
em
T^{-1}\bigl(p(t)\bigr) = \Bigl(\tfrac{a}{2},\;2a-b,\;7a-3b-c\Bigr).

Resposta

Sim, T é um isomorfismo. A inversa é dada por
T^{-1}\colon P_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{3},\quad T^{-1}\bigl(a\,t^2+b\,t+c\bigr) =\Bigl(\tfrac{a}{2},\,2a-b,\,7a-3b-c\Bigr).

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