Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=l(cosl((x+y)pir)r)^1/2
e pede em que região de R^2 ela é contínua. O que precisamos lembrar é que (1) a raiz quadrada raizt é contínua para t>=0 e (2) a função composta de contínuas é contínua no domínio onde faz sentido.

Passo 2

Precisamos primeiro determinar o domínio natural de f. Como
f(x,y)=raizcosl((x+y)pir),
é exigido que
cosl((x+y)pir)>=0
Sabemos que costheta>=0 exatamente quando
thetain[-tfracpi2+2pi k,;tfracpi2+2pi k], kinZ
Aqui theta=(x+y)pi, logo a condição vira
(x+y)piinl[-tfracpi2+2pi k,;tfracpi2+2pi kr] ;Long<=ftrightarrow; x+yinl[2k-tfrac12,;2k+tfrac12r], kinZ

Passo 3

No domínio definido por
D=l(x,y)inR^2: cosl((x+y)pir)>=0r
vemos que (x,y)mapstocosl((x+y)pir) é contínua em R^2 e raizt é contínua em [0,infty). Logo, a composição raizcos((x+y)pi) é contínua em todo ponto de D.

Passo 4

Geometricamente, D é a união de faixas paralelas à reta x+y=const. Cada faixa corresponde a
x+yinl[2k-tfrac12,;2k+tfrac12r],
com k variando em Z. Nessas faixas a função está bem definida e contínua – inclusive nas fronteiras onde cos((x+y)pi)=0, pois raiz0=0 e a raiz é contínua no extremo.

Resposta

A função f é contínua exatamente no conjunto
l(x,y)inR^2:cosl((x+y)pir)>=0r =cupkinZl(x,y):x+yinl[2k-tfrac12,;2k+tfrac12r]r

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