Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
x=t^3+1, y=t^4+t ; t=-1

Passo 1

O enunciado dá uma curva em forma paramétrica
x = t^3 + 1, y = t^4 + t
e pede a reta tangente no ponto correspondente a t=-1.
Para isso vamos precisar de:
  1. As derivadas dxdt e dydt para achar o coeficiente angular m = dy/dtdx/dt.
  2. O ponto (x0,y0) no plano, obtido avaliando x e y em t=-1.
  3. A fórmula da reta em forma ponto-inclinação
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Derivamos em relação a t:
dxdt = 3t^2, dydt = 4t^3 + 1

Passo 3

Avaliamo­-los em t=-1 e também obtemos o ponto da curva:
x0 = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0, y0 = (-1)^4 + (-1) = 1 - 1 = 0;
dxdt|t=-1 = 3cdot(-1)^2 = 3, dydt|t=-1 = 4cdot(-1)^3 + 1 = -4 + 1 = -3
Logo o coeficiente angular é
m = dy/dtdx/dt|t=-1 = -33 = -1

Passo 4

Usando a fórmula ponto-inclinação com (x0,y0)=(0,0) e m=-1:
y - 0 = -1,(x - 0)
que simplifica para
y = -x

Resposta

A equação da tangente à curva em t=-1 é
y = -x

Exercícios relacionados