Pergunta 60,25 pts
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI) y^prime prime(x)+2 y^prime(x)+5 y(x)=0, y(0)=2 e y^prime(0)=-2.
2 e^-x sen(2 x)
2 e^x sen(2 x)
2 e^-x cos (2 x)
2 e^x cos (2 x)
Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y''(x) + 2,y'(x) + 5,y(x) = 0, y(0)=2,;y'(0)=-2
Isso é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Vamos montar a equação característica e depois usar as condições iniciais para determinar a solução específica.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 2r + 5 = 0
Resolvendo,
r = -2 pm raiz4 - 202 = -1 pm 2,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -1pm2i, a solução geral real é
y(x) = e^-xl(Acos(2x) + Bsin(2x)r)
e agora aplicamos as condições iniciais.

Passo 4

Primeiro obtemos a derivada:
y'(x) = e^-xl(-Acos(2x) - Bsin(2x)r) + e^-xl(-2Asin(2x) + 2Bcos(2x)r)
Em x=0 isso dá
;y(0)=A=2
e
;y'(0)=-A+2B=-2,
logo ;2B - 2 = -2implies B=0.

Passo 5

Com A=2 e B=0 a solução particular é
y(x) = 2,e^-xcos(2x)
Essa expressão coincide com a terceira alternativa.

Resposta

2,e^-xcos(2x)

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