Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x, y)=1-y(1-1x)^23

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = 1 - yl(1 - tfrac1xr)^tfrac23
em R^2. Queremos achar o conjunto de pontos (x,y) onde f está bem definida e, por ser composição de funções contínuas, é contínua.

Passo 2

Para começar, a expressão 1/x só faz sentido quando
x neq 0
Logo já excluímos de entrada a reta x=0.

Passo 3

Em seguida, o denominador é
l(1 - tfrac1xr)^tfrac23
A função u mapsto u^2/3 (isto é, raiz cúbica de u, depois elevada ao quadrado) é contínua em todo uneq0. Portanto precisamos também de
1 - 1x neq 0 Longrightarrow 1x neq 1 Longrightarrow x neq 1

Passo 4

Juntando as duas restrições, o domínio de definição (e de continuidade) de f é
D = (x,y)inR^2 mid x neq 0,; x neq 1
Como f é dada por soma, quociente e potência fracionária (todas contínuas nesses pontos), concluímos que f é contínua em todo D.

Resposta

A função f é contínua exatamente em
(x,y)inR^2 mid xneq0,;xneq1,
ou equivalentemente nos “barris”
(-infty,0)timesR, (0,1)timesR, (1,infty)timesR

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