Determine d x / d t, d y / d t e d y / d x.
x=t+sen(t^2+2), y=tg(t^2+2)

Passo 1

O enunciado dá as funções paramétricas
x = t + sinl(t^2+2r),
y = tanl(t^2+2r),
e pede as derivadas dxdt, dydt e dydx. Vamos usar a regra da soma, a regra da cadeia e, para dydx, a relação
dydx = dydtdxdt

Passo 2

Para dxdt aplicamos derivada de t que é 1 e derivada de sin(t^2+2) pela cadeia:
ddtsinl(t^2+2r) = cosl(t^2+2r)cdotddt(t^2+2) = cosl(t^2+2r)cdot 2t
Logo,
dxdt = 1 + 2tcosl(t^2+2r)

Passo 3

Para dydt lembramos que a derivada de tan(u) é sec^2(u),u'. Aqui u=t^2+2 tem derivada 2t, então
dydt = sec^2l(t^2+2r)cdot 2t = 2t,sec^2l(t^2+2r)

Passo 4

Finalmente, para dydx usamos
dydx = dydtdxdt = 2t,sec^2l(t^2+2r)1 + 2tcosl(t^2+2r)

Resposta

dxdt = 1 + 2tcosl(t^2+2r)
dydt = 2t,sec^2l(t^2+2r)
dydx = 2t,sec^2l(t^2+2r)1 + 2tcosl(t^2+2r)

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