Pergunta 30,25 pts
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI) y^prime prime(x)+y^prime(x)-2 y(x)=0, y(0)=0 e y^prime(0)=3.
e^x-e^-2 x
e^x+e^-2 x
Nenhuma das outras alternativas.
e^x-3 e^-2 x
2 e^x-e^-2 x

Passo 1

O problema é um PVI para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(x) + y'(x) - 2y(x) = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=3.
Para resolver usamos o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y(x)=e^r x:
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo-a, temos
r = -1 pm raiz1+82 = -1 pm 32,
logo as raízes são r1=1 e r2=-2.

Passo 3

A solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^x + C2 e^-2x
Derivando,
y'(x) = C1 e^x - 2C2 e^-2x
Aplicando y(0)=0
C1 + C2 = 0 implies C2 = -C1,
e aplicando y'(0)=3
C1 - 2C2 = 3 implies C1 - 2(-C1)=3 implies 3C1=3 implies C1=1, C2=-1
Portanto
y(x)=1cdot e^x + (-1)cdot e^-2x = e^x - e^-2x

Resposta

e^x - e^-2x

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