Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x, y)=lang<= x, yrang<=|x| cdot|y|, x, y in R^3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x,y)=lang<= x,yrang<=|x|cdot|y|, x,yinR^3
é contínua. Vamos usar que soma, diferença, produto interno, norma e produto de funções contínuas são contínuos, e que o quociente de duas funções contínuas é contínuo desde que o denominador não se anule.

Passo 2

Mostramos que as operações envolvidas são contínuas:
  1. (x,y)mapsto lang<= x,yrang<= é contínua em R^3timesR^3.
  2. xmapsto|x| é contínua em R^3. Logo (x,y)mapsto|x| e (x,y)mapsto|y| são contínuas em R^3timesR^3.
  3. O produto (x,y)mapsto|x|cdot|y| é contínuo como produto de funções contínuas.

Passo 3

Pelo teorema do quociente, a função
f(x,y) =lang<= x,yrang<=|x|cdot|y|
será contínua em todos os pontos onde o denominador |x|cdot|y| for diferente de zero.

Passo 4

Temos |x|neq0 se e somente se xneq0, e análogo para y. Portanto
|x|cdot|y|neq0 iff xneq0 e yneq0

Resposta

A função f é contínua no conjunto
l(x,y)inR^3timesR^3 : xneq0 e yneq0r

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