Encontre uma equação da tangente da curva em dado ponto por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando o parâmetro primeiro.
x=raizt+4, y=1 /(t+4) ; (2, 14)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=raizt+4, y=1t+4
e pede a equação da reta tangente no ponto l(2,tfrac14r) por dois métodos:
(a) usando derivadas paramétricas sem eliminar o parâmetro,
(b) primeiro eliminando o parâmetro e depois derivando a curva explícita.

Passo 2

Método (a): calcular dydx pela regra da cadeia
dxdt=ddtraizt+4=12raizt+4, dydt=ddtl(t+4r)^-1=-1(t+4)^2
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dydx =tfracdydttfracdxdt =-1(t+4)^2;/;12raizt+4 =-2raizt+4(t+4)^2 =-2(t+4)^3/2

Passo 3

Achar t no ponto dado: raizt+4=2 t=0. Então o declive é
m=dydx|t=0 =-24^3/2 =-28 =-14
A reta tangente em l(2,tfrac14r) é
y-14 =-14l(x-2r) Longrightarrow y=-14x+34

Passo 4

Método (b): eliminar o parâmetro. De x=raizt+4 vem
t+4=x^2Longrightarrow t=x^2-4,
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y=1t+4=1x^2
A curva explícita é y=x^-2.

Passo 5

Derivar y=x^-2:
dydx=-2x^-3,
e em x=2 o declive é
m=-2cdot2^-3=-28=-14
A reta tangente é novamente
y-14 =-14l(x-2r) Longrightarrow y=-14x+34

Resposta

A equação da reta tangente é
y=-14x+34

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