Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x, y)=(x y)^2-3 x+cos (x y)

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon R^2 to R, f(x,y) = (x y)^2 ;-; 3x ;+; cos(xy)
e pede o conjunto em que f é contínua. Para isso, vamos usar que polinômios em (x,y) são contínuos em R^2, que cos é contínua em R e que somas e composições de funções contínuas também são contínuas.

Passo 2

Analisamos cada parcela de f:
  1. (xy)^2 é um polinômio em x e y, logo contínuo em R^2.
  2. -3x é um polinômio em x, logo contínuo em R^2.
  3. cos(xy) é composição da função produto (x,y)mapsto xy (contínua em R^2) com coscolon RtoR (contínua em R), logo cos(xy) é contínua em R^2.

Passo 3

A soma de funções contínuas é contínua. Como cada parcela (xy)^2, -3x e cos(xy) é contínua em R^2, concluímos que
f(x,y) = (x y)^2 - 3x + cos(xy)
é contínua em todo R^2.

Resposta

f é contínua em R^2.

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