Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva aplicando as condições iniciais indicadas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão e, em seguida, achar a função potencial que gera a solução.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão e, em seguida, achar a função potencial que gera a solução.
Passo 2
Colocamos sobre a forma
onde
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos em
:
Para determinar
, usamos
e igualamos a
:
Logo
Portanto
Passo 4
A solução geral implícita vem de
Passo 5
Usamos
:
Logo a solução particular é
Passo 6
Podemos reescrever multiplicando por
:
Definindo
, fica
Como
implica
, escolhemos o sinal “
”:
Resposta
que satisfaz
.