Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva aplicando as condições iniciais indicadas.
l(3 y^2-x^2y^5) d y+(x2 y^4) d x=0 y(1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(3y^2-x^2y^5),dy + (x2y^4),dx = 0
com a condição inicial y(1)=1.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão e, em seguida, achar a função potencial que gera a solução.

Passo 2

Colocamos sobre a forma
P(x,y),dx + Q(x,y),dy = 0
onde
P(x,y)=x2y^4, Q(x,y)=3y^2-x^2y^5
Calculamos as derivadas parciais
partial Ppartial y = partialpartial yl(x2y^4r) = xcdotl(-4r)12y^5 = -2xy^5,
partial Qpartial x = partialpartial xl(3y^2-x^2y^5r) = -2xy^5
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y) tal que
Phix = P = x2y^4
Integramos em x:
Phi(x,y) = integral x2y^4,dx = x^24y^4 + h(y)
Para determinar h(y), usamos
Phiy = -x^2y^5 + h'(y)
e igualamos a Q:
-x^2y^5 + h'(y) = 3y^2-x^2y^5 = 3y^3 - x^2y^5
Logo
h'(y) = 3y^3, h(y) = integral 3y^3,dy = -32y^2
Portanto
Phi(x,y) = x^24y^4 - 32y^2

Passo 4

A solução geral implícita vem de
Phi(x,y)=C Longrightarrow x^24y^4 - 32y^2 = C

Passo 5

Usamos y(1)=1:
1^24cdot1^4 - 32cdot1^2 = C Longrightarrow 14 - 32 = C Longrightarrow C = -54
Logo a solução particular é
x^24y^4 - 32y^2 = -54

Passo 6

Podemos reescrever multiplicando por 4y^4:
x^2 - 6y^2 + 5y^4 = 0
Definindo z=y^2, fica
5z^2-6z + x^2=0 Longrightarrow z = 6 pm raiz36 -20x^210 = 3 pm raiz9 -5x^25
Como y(1)=1 implica z(1)=1, escolhemos o sinal “ +”:
y^2 = 3 + raiz9 -5x^25, y(x) = raiz3 + raiz9 -5x^25

Resposta

y(x) = raiz3 + raiz9 -5x^25,
que satisfaz y(1)=1.

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