Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x, y)=-x log x-y log y

Passo 1

O enunciado pede o conjunto em que a função
f(x,y) = -,xlog x ;-; ylog y
é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis obtidas por soma, produto e composição com o logaritmo.

Passo 2

Para que f esteja bem definida, é preciso que log x e log y existam, isto é,
x>0 e y>0
Portanto o domínio natural de f é
D = (x,y)inR^2 mid x>0,;y>0

Passo 3

Sabemos que
  1. logcolon(0,infty)toR é contínua,
  2. a função identidade xmapsto x é contínua em R,
  3. o produto e a soma de funções contínuas são contínuos em seu domínio comum.
Assim, em todo D as funções -xlog x e -ylog y são contínuas e, por soma, f(x,y) também é contínua em D.

Resposta

A função f é contínua em
(x,y)inR^2 mid x>0,;y>0

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