Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
x=e^t sen pi t, y=e^2 t ; t=0

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=e^tsin(pi t), y(t)=e^2t
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=0. Para isso vamos usar derivadas paramétricas e a fórmula da reta tangente em coordenadas cartesianas:
y - y0 = m,(x - x0),
onde (x0,y0) é o ponto de tangência e m=dy/dtdx/dt é o coeficiente angular.

Passo 2

Calculamos as coordenadas do ponto em t=0:
x(0)=e^0sin(0)=0, y(0)=e^2cdot0=1
Logo o ponto de tangência é (x0,y0)=(0,1).

Passo 3

Calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt =ddtl(e^tsin(pi t)r) =e^tsin(pi t)+e^t,picos(pi t) =e^tl(sin(pi t)+picos(pi t)r),
dydt =ddtl(e^2tr) =2e^2t
Avaliando em t=0:
dxdt|0 =e^0l(0+picdot1r)=pi, dydt|0=2e^0=2
O coeficiente angular da tangente é
m=dy/dtdx/dt|0 =2pi

Passo 4

Substituímos m e (x0,y0) na fórmula da reta:
y-1=2pi(x-0),
ou seja
y=2pix+1

Resposta

A equação da reta tangente é
y=2pix+1

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