Pergunta 10 0,5 pts
Determine a solução do PVI y^prime prime(t)+4 y^prime(t)+5 y(t)=130 e^-t cos (2 t), sujeito a y(0)=2 e y^prime(0)=4.
Nenhuma das outras alternativas.
y(t)=e^-2 t[15 cos (t)-31 sen(t)]+e^-t[26 cos (2 t)-13 sen(2 t)]
y(t)=e^-2 t[15 sen(t)-31 cos (t)]+e^-t[26 sen(2 t)-13 cos (2 t)]
y(t)=e^-2 t[15 cos (t)-31 sen(t)]+e^-t[26 sen(2 t)-13 cos (2 t)]
y(t)=e^-2 t[15 cos (t)+31 sen(t)]+e^-t[26 sen(2 t)+13 cos (2 t)]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y''(t)+4,y'(t)+5,y(t)=130,e^-tcos(2t),
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=4.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante 130e^-tcos(2t). A estratégia é:
  1. Encontrar a solução complementar yc pela equação característica.
  2. Determinar uma solução particular yp por coeficientes indeterminados.
  3. Impor y(0) e y'(0) para achar as constantes de integração.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2+4r+5=0
com raízes
r=-2pm i
Logo a solução complementar é
yc(t)=e^-2tl(C1cos t +C2sin tr)

Passo 3

Para a solução particular tentamos
yp(t)=e^-tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r)
Calculando yp' e yp'' e substituindo em y''+4y'+5y e comparando com 130e^-tcos(2t), obtemos o sistema
-2A+4B=130, -4A-2B=0

Passo 4

Resolvendo o sistema dá A=-13 e B=26. Assim
yp(t)=e^-tl(-13cos(2t)+26sin(2t)r)

Passo 5

A solução geral é
y(t)=e^-2tl(C1cos t +C2sin tr) +e^-tl(-13cos(2t)+26sin(2t)r)
Impondo y(0)=2 e y'(0)=4 encontra-se C1=15 e C2=-31.

Resposta

y(t)=e^-2tl(15cos t-31sin tr) +e^-tl(26sin(2t)-13cos(2t)r)

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