Pergunta 80,25 pts
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI) y^prime prime(x)+2 y^prime(x)+5 y(x)=0, y(0)=1 e y^prime(0)=3.
e^-x[cos (2 x)+2 sen(2 x)]
e^-x[cos (2 x)-2 sen(2 x)]
e^-x[2 cos (2 x)+sen(2 x)]
e^x[cos (2 x)+2 sen(2 x)]
Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y''(x) + 2,y'(x) + 5,y(x) = 0, y(0)=1, y'(0)=3
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 5 = 0
Resolvendo,
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot52 = -2 pm raiz-162 = -1 pm 2,i
Como as raízes são complexas conjugadas r=-1pm2i, a solução geral é
y(x) = e^-xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r)

Passo 3

Usamos y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x):
y(0) = e^0l(C1cos0 + C2sin0r) = C1cdot1 + C2cdot0 = C1
Logo
C1 = 1

Passo 4

Calculamos y'(x).
Primeiro,
y(x) = e^-xl(cos(2x) + C2sin(2x)r),
logo por produto e cadeia,
y'(x) = -e^-xl(cos(2x)+C2sin(2x)r) + e^-xl(-2sin(2x)+2C2cos(2x)r)
Agrupando termos,
y'(x) = e^-xl((2C2-1)cos(2x) + (-2 - C2)sin(2x)r)
Agora y'(0)=3
y'(0) = (2C2-1)cdot1 + (-2 - C2)cdot0 = 2C2-1 = 3 Longrightarrow 2C2 = 4 Longrightarrow C2 = 2

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=2 na solução geral, obtemos
y(x) = e^-xl(cos(2x) + 2,sin(2x)r)

Resposta

e^-xl(cos(2x) + 2,sin(2x)r)

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