Encontre uma equação da tangente da curva em dado ponto por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando o parâmetro primeiro.
x=sen t, y=cos ^2 t ; (12, 34)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=sin t, y=cos^2 t
e pede a reta tangente no ponto l(tfrac12,tfrac34r). Vamos usar (a) diferenciação paramétrica direta e (b) eliminação do parâmetro para chegar na mesma reta.

Passo 2

Precisamos achar t tal que
sin t = tfrac12, cos^2 t = tfrac34
Como sin(pi/6)=tfrac12 e cos(pi/6)=tfracraiz32 implica cos^2(pi/6)=tfrac34, tomamos t=pi/6.

Passo 3

No método paramétrico calculamos
dxdt=cos t, dydt=-2sin tcos t
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dydx =tfracdydttfracdxdt =-2sin tcos tcos t =-2sin t
Em t=pi/6 obtemos tfracdydx=-2cdottfrac12=-1.

Passo 4

A reta tangente com coeficiente angular m=-1 em l(x0,y0r)=l(tfrac12,tfrac34r) é
y-34=-1l(x-12r),
que se rearranja para
y=-x+54

Passo 5

Eliminando o parâmetro: de x=sin t vem sin t = x. Substituindo em y=cos^2 t e usando cos^2 t=1-sin^2t obtemos
y = 1 - x^2

Passo 6

Derivando y=1-x^2 em relação a x
dydx=-2x,
e em x=tfrac12 isso vale -1. A reta tangente é novamente
y-34=-1l(x-12r) Long<=ftrightarrow y=-x+54

Resposta

(a) Por diferenciação paramétrica:
y-34=-1l(x-12r)
(b) Eliminando o parâmetro:
y-34=-1l(x-12r)
Em ambos os casos a reta tangente é y=-x+tfrac54.

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