Encontre uma equação da tangente da curva em dado ponto por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando o parâmetro primeiro.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede a reta tangente no ponto
. Vamos usar (a) diferenciação paramétrica direta e (b) eliminação do parâmetro para chegar na mesma reta.
Passo 2
Precisamos achar
tal que
Como
e
implica
, tomamos
.
Passo 3
No método paramétrico calculamos
Logo
Em
obtemos
.
Passo 4
A reta tangente com coeficiente angular
em
é
que se rearranja para
Passo 5
Eliminando o parâmetro: de
vem
. Substituindo em
e usando
obtemos
Passo 6
Derivando
em relação a
dá
e em
isso vale
. A reta tangente é novamente
Resposta
(a) Por diferenciação paramétrica:
(b) Eliminando o parâmetro:
Em ambos os casos a reta tangente é
.