Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
ld yd x+5 y=20 y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx + 5y = 20
sujeita à condição inicial y(0)=2. O conteúdo é método do fator integrante para equações lineares.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x),
identificando P(x)=5 e Q(x)=20.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 5,dx = e^5x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^5xdydx + 5e^5xy = 20e^5x
O lado esquerdo é a derivada de e^5xy, logo
ddxl(e^5xyr) = 20e^5x
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^5xy = integral 20e^5x,dx = 4e^5x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = 4 + Ce^-5x
Aplicamos a condição y(0)=2:
2 = 4 + Ccdot e^0Rightarrow C = -2
Então a solução particular é
y(x) = 4 - 2e^-5x

Resposta

y(x) = 4 - 2e^-5x

Exercícios relacionados