Determine em cada item a velocidade e aceleração da curva dada em cada ponto do domínio:
r(t)=(cos t, sin t, sin 4 t)

Passo 1

Aqui a gente tem a curva no espaço definida por r(t)=(cos t,sin t,sin4t). O conteúdo é derivada de funções vetoriais e a gente vai precisar da definição de derivada componente a componente, das derivadas de sen e cos, e da regra da cadeia.

Passo 2

Para achar a velocidade v(t), a gente deriva cada componente de r(t). A derivada de cos t é -sin t, a de sin t é cos t, e usando regra da cadeia a de sin4t é 4cos4t. Logo:
v(t)=(-sin t,;cos t,;4cos4t)

Passo 3

Agora, para a aceleração a(t), derivamos v(t) componente a componente. A derivada de -sin t é -cos t, a de cos t é -sin t, e pela regra da cadeia a de 4cos4t é -16sin4t. Assim:
a(t)=(-cos t,;-sin t,;-16sin4t)

Resposta

A velocidade é v(t)=(-sin t,cos t,4cos4t) e a aceleração é a(t)=(-cos t,-sin t,-16sin4t).

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