Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto t0 :
r(t)=(t+1, t^2-2 t, t^3+3 t+1) em t0=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a reta tangente à curva no espaço dada pela função vetorial r(t) = (t+1, t^2 - 2t, t^3 + 3t + 1) no ponto t0 = 1. O conteúdo envolve derivada de funções vetoriais e geometria analítica no espaço: precisamos calcular a derivada para obter o vetor direção e avaliar a curva em t0 para achar o ponto de tangência.

Passo 2

Para achar o vetor direção, calculamos a derivada de cada componente de r(t). Assim, temos
r'(t) = l(1, 2t - 2, 3t^2 + 3r)

Passo 3

Agora substituímos t = 1. Isso dá o vetor direção
r'(1) = (1, 2cdot1 - 2, 3cdot1^2 + 3) = (1, 0, 6)
e avaliamos o ponto de tangência:
r(1) = (1+1, 1^2 - 2cdot1, 1^3 + 3cdot1 + 1) = (2, -1, 5)

Passo 4

A reta tangente em forma paramétrica usa o ponto (2,-1,5) e o vetor direção (1,0,6). Escrevendo as coordenadas em função de um parâmetro s, temos
x(s) = 2 + s, y(s) = -1, z(s) = 5 + 6s

Resposta

A reta tangente em t0 = 1 é dada por r(s) = (2,-1,5) + s,(1,0,6).

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