Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto
:
em
Passo 1
Nesse exercício a gente tem uma curva definida pela função vetorial
e a missão é achar a reta tangente no ponto
. O conteúdo que vamos usar é derivada de função vetorial e equação de reta tangente. Para isso, precisamos calcular
e
.
Passo 2
Vamos achar
substituindo
em cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:
Terceiro componente:
Logo
.
Passo 3
Agora vamos derivar componente a componente, porque a derivada de uma função vetorial é a derivada de cada entrada.
Para o primeiro componente
aplicamos a regra do quociente:
Agora avaliamos em
: o numerador fica
e o denominador
, então
.
Passo 4
Para o segundo componente
usamos regra do produto:
Em
isso vira
.
Passo 5
Para o terceiro componente
de novo usamos a regra do quociente:
Avaliando em
: o numerador é
? Na verdade faz-se passo a passo e chega em
, o denominador é
, então
.
Passo 6
Juntando tudo, a derivada em
é
.
Passo 7
A teoria da reta tangente diz que ela é dada por
. Substituindo os valores que achamos, temos:
Resposta
[\mathbf{L}(s)=(2,\sin(1),0)+s,(0,\sin(1)-\cos(1),-1)]