Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto t0 :
r(t)=(2 t+2 t^31+t^4, t sin 1t, t-t^31+t^4) em t0=1

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma curva definida pela função vetorial r(t)=l(tfrac2t+2t^31+t^4,;tsintfrac1t,;tfract-t^31+t^4r) e a missão é achar a reta tangente no ponto t0=1. O conteúdo que vamos usar é derivada de função vetorial e equação de reta tangente. Para isso, precisamos calcular r(1) e r'(1).

Passo 2

Vamos achar r(1) substituindo t=1 em cada componente:
Primeiro componente:
2cdot1+2cdot1^31+1^4=2+22=2
Segundo componente: 1cdotsintfrac11=sin(1)
Terceiro componente:
1-1^31+1^4=02=0
Logo r(1)=(2,sin(1),0).

Passo 3

Agora vamos derivar componente a componente, porque a derivada de uma função vetorial é a derivada de cada entrada.
Para o primeiro componente u(t)=tfrac2t+2t^31+t^4 aplicamos a regra do quociente:
u'(t)=(2+6t^2)(1+t^4)-(2t+2t^3)cdot4t^3(1+t^4)^2
Agora avaliamos em t=1: o numerador fica 2+6-6-2=0 e o denominador (1+1)^2=4, então u'(1)=0.

Passo 4

Para o segundo componente v(t)=tsintfrac1t usamos regra do produto:
v'(t)=sintfrac1t+tcdotcostfrac1tcdot(-tfrac1t^2)=sintfrac1t-tfrac1tcostfrac1t.
Em t=1 isso vira v'(1)=sin(1)-cos(1).

Passo 5

Para o terceiro componente w(t)=tfract-t^31+t^4 de novo usamos a regra do quociente:
w'(t)=(1-3t^2)(1+t^4)-(t-t^3)cdot4t^3(1+t^4)^2
Avaliando em t=1: o numerador é 1-3+1-3-4+4=-4? Na verdade faz-se passo a passo e chega em -4, o denominador é 4, então w'(1)=-1.

Passo 6

Juntando tudo, a derivada em t=1 é
r'(1)=(0,,sin(1)-cos(1),,-1).

Passo 7

A teoria da reta tangente diz que ela é dada por L(s)=r(1)+s,r'(1). Substituindo os valores que achamos, temos:
L(s)=(2,sin(1),0)+s,(0,sin(1)-cos(1),-1)

Resposta

[\mathbf{L}(s)=(2,\sin(1),0)+s,(0,\sin(1)-\cos(1),-1)]

Exercícios relacionados