Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto
:
em
Passo 1
Beleza, a gente tem a curva paramétrica \r(t) e quer a reta tangente em t₀=1. O conteúdo aqui é derivadas de funções vetoriais e como passar de derivadas em t pra declive dy/dx. Vamos precisar usar regra da cadeia pra derivar x(t)=
^{1/3} e y(t)=(2−t⁴)^{−2π}, depois avaliar em t=1 e achar dy/dx.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a componente x(t). Temos
Pela regra da cadeia, se u=t−t² então u’=1−2t e
Passo 3
Agora, derivamos y(t):
De novo, usando regra da cadeia, seja v=2−t⁴ com v’=-4t³. Então
Passo 4
Vamos avaliar em t=1. Primeiro o ponto:
Depois as derivadas:
Passo 5
A inclinação da reta tangente é
ou seja, reta horizontal passando por y=1.
Resposta
y = 1