Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto t0 :
r(t)=(raiz[3]t-t^2,(2-t^4)^-2 pi) em t0=1

Passo 1

Beleza, a gente tem a curva paramétrica \r(t) e quer a reta tangente em t₀=1. O conteúdo aqui é derivadas de funções vetoriais e como passar de derivadas em t pra declive dy/dx. Vamos precisar usar regra da cadeia pra derivar x(t)= t−t²²^{1/3} e y(t)=(2−t⁴)^{−2π}, depois avaliar em t=1 e achar dy/dx.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a componente x(t). Temos
x(t)=(t-t^2)^tfrac13
Pela regra da cadeia, se u=t−t² então u’=1−2t e
x'(t)=13,u^-2/3cdot u'=1-2t3,(t-t^2)^2/3

Passo 3

Agora, derivamos y(t):
y(t)=(2-t^4)^-2pi
De novo, usando regra da cadeia, seja v=2−t⁴ com v’=-4t³. Então
y'(t)=-2pi,(2-t^4)^-2pi-1cdot(-4t^3)=8pi,t^3,(2-t^4)^-2pi-1

Passo 4

Vamos avaliar em t=1. Primeiro o ponto:
r(1)=l((1-1)^1/3,,(2-1^4)^-2pir)=(0,1)
Depois as derivadas:
x'(1)=1-2cdot13,(1-1)^2/3=-10^+=-infty,
y'(1)=8picdot1^3cdot(2-1)^-2pi-1=8picdot1=8pi

Passo 5

A inclinação da reta tangente é
dydx=y'(1)x'(1)=8pi-infty=0,
ou seja, reta horizontal passando por y=1.

Resposta

y = 1

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