Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto t0 :
r(t)=(1+t^2t, 1-t^22 t) em t0=1

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício de curvas paramétricas onde precisamos achar a reta tangente da curva em um ponto específico. O enunciado dá a função vetorial
r(t)=l(1+t^2t,,1-t^22tr)
no ponto t0=1. O conteúdo aqui é derivada vetorial e representação de reta tangente, então vamos precisar calcular o ponto na curva, achar o vetor derivada e montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro vamos achar o ponto onde a reta toca a curva, substituindo t=1 em r(t).
r(1)=l(1+1^21,,1-1^22cdot1r)=l(2,0r)

Passo 3

Para obter a direção da reta tangente, usamos derivada vetorial. Se r(t)=(x(t),y(t)), então r'(t)=(x'(t),y'(t)). Vamos derivar cada componente. Primeiro note que
x(t)=1+t^2t=t+1t, x'(t)=1-1t^2
E
y(t)=1-t^22t=12t-t2, y'(t)=-12t^2-12

Passo 4

Agora avalia em t=1:
r'(1)=l(x'(1),y'(1)r)=l(1-1,,-tfrac12-tfrac12r)=(0,-1)

Passo 5

Com o ponto (2,0) e o vetor direção (0,-1), a reta tangente em forma vetorial fica
ell(s)=(2,0)+s,(0,-1)
Note que isso é uma reta vertical, que em forma cartesiana é simplesmente x=2.

Resposta

A reta tangente em t0=1 é dada por ell(s)=(2,0)+s(0,-1), o que em forma cartesiana corresponde a x=2.

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