Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando o método de Bernoulli.
y^prime-x y=x y^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - x,y = x,y^3
usando o método de Bernoulli. Esse método serve para equações do tipo
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
onde a gente faz a substituição ;u = y^1-n para transformar em uma equação linear em u.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão y' + P(x),y = Q(x),y^n, temos
y' + l(-xr)y = x,y^3
Portanto
P(x) = -x, Q(x)=x, n = 3

Passo 3

Como n=3, definimos
u = y^1-3 = y^-2
Para encontrar u', derivamos em relação a x:
u' = ddxl(y^-2r) = -2,y^-3,y'

Passo 4

Vamos isolar y' na equação original e substituir em u'. Da equação y' - x y = x y^3 vem
y' = x,y + x,y^3
Logo
u' = -2,y^-3l(x,y + x,y^3r) = -2x,y^-2 -2x = -2x,u ;-;2x
Reescrevendo, obtemos a equação linear em u:
u' + 2x,u = -2x

Passo 5

Para resolver
u' + 2x,u = -2x
usamos fator integrante mu(x)=e^integral2x,dx=e^x^2. Multiplicando tudo por e^x^2:
l(u,e^x^2r)' = -2x,e^x^2
Integramos ambos os lados:
u,e^x^2 = integral -2x,e^x^2,dx = -e^x^2 + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u = -1 + C,e^-x^2

Passo 6

Voltando a variável y, lembrando que u=y^-2, temos
y^-2 = -1 + C,e^-x^2 Longrightarrow y^2 = 1-1 + C,e^-x^2 Longrightarrow y = pm1raiz-1 + C,e^-x^2

Resposta

y(x) = pm1raiz,C,e^-x^2-1,,
onde C é constante arbitrária.

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