Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a seguinte série numérica é convergente ou divergente:
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Precisa-se determinar apenas convergência ou divergência da série infinita.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o termo geral usando propriedades de fatorial. Lembrando que para
,
Então podemos cancelar
no numerador e no denominador. Assim o termo geral fica
Passo 3
Vamos nomear o termo geral simplificado para trabalhar com ele. Definimos
Antes de aplicar testes formais, lembro de uma condição necessária (e simples) para que uma série
converja: os termos
devem tender a zero quando
. Se
, a série diverge imediatamente.
Passo 4
Uma maneira eficiente é usar o Teste da Razão (d’Alembert). Vou explicar o que é esse teste: dado termos positivos
, calcula-se
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
O teste é muito prático quando os termos têm fatores exponenciais ou fatoriais (como aqui).
Passo 5
Calcular a razão
. Temos
Então
Cancelando o fator
obtém-se
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Como
, o Teste da Razão nos diz que a série diverge.
Passo 7
Vou enfatizar a intuição: a razão dos termos tende a
, ou seja, para
grande cada termo é aproximadamente o dobro do anterior. Isso impede a soma de se estabilizar — os termos não vão para zero suficientemente rápido (na verdade não vão para zero neste caso), então a soma diverge.
Passo 8
Alternativa rápida (condição necessária): a partir de
percebe-se que
se comporta, em ordem de grandeza, como
. Como
cresce exponencialmente muito mais rápido que
, o termo
não tende a zero (tende a
). Logo a série não pode convergir. (O cálculo limítrofe rigoroso foi feito pelo teste da razão acima.)
Resposta
Divergente.