Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente.
(1.0) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{(n+2)!}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a seguinte série numérica é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{(n+2)!}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \dfrac{2^{n} n!}{(n+2)!}.
  • Precisa-se determinar apenas convergência ou divergência da série infinita.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o termo geral usando propriedades de fatorial. Lembrando que para n\ge1,
(n+2)!=(n+2)(n+1)n!.
Então podemos cancelar n! no numerador e no denominador. Assim o termo geral fica
\frac{2^{n} n!}{(n+2)!}=\frac{2^{n}}{(n+1)(n+2)}.

Passo 3

Vamos nomear o termo geral simplificado para trabalhar com ele. Definimos
a_n=\frac{2^{n}}{(n+1)(n+2)}.
Antes de aplicar testes formais, lembro de uma condição necessária (e simples) para que uma série \sum a_n converja: os termos a_n devem tender a zero quando n\to\infty. Se \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0, a série diverge imediatamente.

Passo 4

Uma maneira eficiente é usar o Teste da Razão (d’Alembert). Vou explicar o que é esse teste: dado termos positivos a_n>0, calcula-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
O teste é muito prático quando os termos têm fatores exponenciais ou fatoriais (como aqui).

Passo 5

Calcular a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Temos
a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+2)(n+3)}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+2)(n+3)}}{\dfrac{2^{n}}{(n+1)(n+2)}} =2\cdot\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)}.
Cancelando o fator (n+2) obtém-se
\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\cdot\frac{n+1}{n+3}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}2\cdot\frac{n+1}{n+3} =2\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+3} =2\cdot 1=2.
Como L=2>1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge.

Passo 7

Vou enfatizar a intuição: a razão dos termos tende a 2, ou seja, para n grande cada termo é aproximadamente o dobro do anterior. Isso impede a soma de se estabilizar — os termos não vão para zero suficientemente rápido (na verdade não vão para zero neste caso), então a soma diverge.

Passo 8

Alternativa rápida (condição necessária): a partir de a_n=\dfrac{2^{n}}{(n+1)(n+2)} percebe-se que a_n se comporta, em ordem de grandeza, como \dfrac{2^{n}}{n^{2}}. Como 2^{n} cresce exponencialmente muito mais rápido que n^{2}, o termo a_n não tende a zero (tende a +\infty). Logo a série não pode convergir. (O cálculo limítrofe rigoroso foi feito pelo teste da razão acima.)

Resposta

Divergente.

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