Dada equação y^{\prime \prime}(x)-4 y^{\prime}(x)+4 y(x)=F(x).
Sabendo que y(x)=C_{1} e^{2 x}+C_{2} x e^{2 x}+4 x^{2} e^{2 x} é sua solução geral, determine F(x)
CÁLCULO:
\operatorname{Resp}: F(x)=

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}(x)-4y^{\prime}(x)+4y(x)=F(x)
e informa que a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}+4x^{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. A tarefa é determinar explicitamente a função F(x).

Passo 2

Observação útil (ferramenta que facilita muito a conta). Denotando por D o operador derivada ( D[y]=y'), a operação no lado esquerdo pode ser escrita como
D^{2}-4D+4=(D-2)^{2}.
Isto significa que, para qualquer função y(x),
y''-4y'+4y=(D-2)^{2}y.
Além disso, se escrevemos y(x)=e^{2x}p(x) com alguma função p(x), então
(D-2)[e^{2x}p(x)]=e^{2x}p'(x).
Aplicando (D-2) de novo,
(D-2)^{2}[e^{2x}p(x)]=e^{2x}p''(x).
Essa identidade é muito prática quando a solução tem fator e^{2x}.

Passo 3

Agora aplicamos esse fato à solução dada. Podemos separar y em três termos:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}+4x^{2}e^{2x}.
Cada termo tem a forma e^{2x}p(x) com p(x) sendo, respectivamente, C_{1}, C_{2}x e 4x^{2}. Pelo resultado do passo anterior,
(D-2)^{2}[e^{2x}p(x)]=e^{2x}p''(x).
Logo, ao aplicar o operador ao conjunto, obtemos soma dos respectivos e^{2x}p''(x).

Passo 4

Calculemos as segundas derivadas das funções p(x) correspondentes:
  • Para p_{1}(x)=C_{1}, tem-se p_{1}''(x)=0.
  • Para p_{2}(x)=C_{2}x, tem-se p_{2}''(x)=0.
  • Para p_{3}(x)=4x^{2}, calculemos: p_{3}'(x)=8x,
p_{3}''(x)=8.

Passo 5

Usando a identidade (D-2)^{2}[e^{2x}p(x)]=e^{2x}p''(x) e os resultados acima, o lado esquerdo da equação diferencial aplicado à y(x)
F(x)=(D-2)^{2}y(x)=e^{2x}\big(p_{1}''(x)+p_{2}''(x)+p_{3}''(x)\big)=e^{2x}\big(0+0+8\big).
Portanto
F(x)=8e^{2x}.

Passo 6

Verificação direta (opcional, para ganhar confiança): tomar u(x)=4x^{2}e^{2x} e calcular u',u'' por regra do produto:
u'(x)=8x e^{2x}+8x^{2}e^{2x}=e^{2x}(8x+8x^{2}),
u''(x)=e^{2x}(8+32x+16x^{2}).
Então
u''-4u'+4u=e^{2x}\big(8+32x+16x^{2}\big)-4e^{2x}\big(8x+8x^{2}\big)+4e^{2x}\big(4x^{2}\big).
Fatorando e^{2x} e somando termos dentro do colchete obtém-se 8, logo o resultado é 8e^{2x}, confirmando o passo anterior.

Resposta

F(x)=8e^{2x}

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