Dada equação
.
Sabendo que
é sua solução geral, determine
CÁLCULO:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e informa que a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias. A tarefa é determinar explicitamente a função
.
Passo 2
Observação útil (ferramenta que facilita muito a conta). Denotando por
o operador derivada (
), a operação no lado esquerdo pode ser escrita como
Isto significa que, para qualquer função
,
Além disso, se escrevemos
com alguma função
, então
Aplicando
de novo,
Essa identidade é muito prática quando a solução tem fator
.
Passo 3
Agora aplicamos esse fato à solução dada. Podemos separar
em três termos:
Cada termo tem a forma
com
sendo, respectivamente,
,
e
. Pelo resultado do passo anterior,
Logo, ao aplicar o operador ao conjunto, obtemos soma dos respectivos
.
Passo 4
Calculemos as segundas derivadas das funções
correspondentes:
- Para
, tem-se . - Para
, tem-se . - Para
, calculemos:
Passo 5
Usando a identidade
e os resultados acima, o lado esquerdo da equação diferencial aplicado à
dá
Portanto
Passo 6
Verificação direta (opcional, para ganhar confiança): tomar
e calcular
por regra do produto:
Então
Fatorando
e somando termos dentro do colchete obtém-se
, logo o resultado é
, confirmando o passo anterior.