Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente.
(1.0) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{n-1}}{(-5)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{n-1}}{(-5)^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{n^{2} 2^{n-1}}{(-5)^{n}}.
  • Deve-se decidir convergência ou divergência da soma infinita desses termos.

Passo 2

Primeiro faço uma simplificação algébrica do termo geral para ver melhor sua forma. Usando \,2^{n-1}=2^n/2, temos
\frac{n^{2} 2^{n-1}}{(-5)^{n}}=\frac{n^{2}}{2}\cdot\frac{2^{n}}{(-5)^{n}} =\frac{1}{2}\,n^{2}\left(\frac{2}{-5}\right)^{n} =\frac{1}{2}\,n^{2}\left(-\frac{2}{5}\right)^{n}.
Para estudar convergência é útil também o valor absoluto do termo:
\left|\frac{1}{2}\,n^{2}\left(-\frac{2}{5}\right)^{n}\right| =\frac{1}{2}\,n^{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}.

Passo 3

Vou usar o teste da razão (ratio test), que é muito prático aqui. O teste diz:
  • Para a série \sum a_n calcule L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1 a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Explicação rápida e intuitiva: o teste compara a taxa de decaimento dos termos com a de uma série geométrica; se a razão limite for menor que 1 a decadência é suficiente para garantir soma finita.

Passo 4

Aplico o teste da razão aos termos em valor absoluto \,b_n=\dfrac{1}{2}n^{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}.
Calculo
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\tfrac{1}{2}(n+1)^{2}\left(\tfrac{2}{5}\right)^{n+1}}{\tfrac{1}{2}n^{2}\left(\tfrac{2}{5}\right)^{n}} =\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{2}{5}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{2}{5} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\right)\cdot\frac{2}{5} =1\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}.
Como \dfrac{2}{5}<1, o teste da razão garante que a série \sum b_n converge.

Passo 5

Concluir que \sum b_n converge implica que a série original converge absolutamente, porque b_n=|a_n| com a_n=\dfrac{1}{2}n^{2}\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{n}. Convergência absoluta ⇒ convergência simples. Comentário didático: séries do tipo \sum n^{p}r^{n} com |r|<1 sempre convergem porque a parte exponencial domina a parte polinomial; o teste da razão formaliza isso.

Resposta

Convergente (convergência absoluta)

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