Vou usar o teste da razão (ratio test), que é muito prático aqui. O teste diz:
Para a série \sum a_n calcule L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1 a série diverge.
Se L=1 o teste é inconclusivo.
Explicação rápida e intuitiva: o teste compara a taxa de decaimento dos termos com a de uma série geométrica; se a razão limite for menor que 1 a decadência é suficiente para garantir soma finita.
Passo 4
Aplico o teste da razão aos termos em valor absoluto \,b_n=\dfrac{1}{2}n^{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}.
Calculo
Como \dfrac{2}{5}<1, o teste da razão garante que a série \sum b_n converge.
Passo 5
Concluir que \sum b_n converge implica que a série original converge absolutamente, porque b_n=|a_n| com a_n=\dfrac{1}{2}n^{2}\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{n}. Convergência absoluta ⇒ convergência simples. Comentário didático: séries do tipo \sum n^{p}r^{n} com |r|<1 sempre convergem porque a parte exponencial domina a parte polinomial; o teste da razão formaliza isso.