Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente.
(1.0) \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n+2}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n+2}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
Soma começa em n=2.
O termo geral é t_n = (-1)^{n}\dfrac{n}{n+2}.
A pergunta é uma única: a série converge ou diverge?
Passo 2
Lembrete crucial (teste necessário para convergência): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} t_n
converge, então o termo geral t_n deve tender a zero quando n\to\infty. Em símbolos:
Isto é um teste rápido que uso sempre primeiro: calcular o limite do termo geral. Se o limite for diferente de zero (ou não existir de forma que não seja zero), a série diverge imediatamente. É um requisito necessário (mas não suficiente).
Passo 3
Calcular o limite do módulo do termo geral (isso deixa claro se tende a zero):
\left|\dfrac{n}{n+2}\right|=\dfrac{n}{n+2}.
Para encontrar \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+2} divido numerador e denominador por n:
Como o módulo dos termos tende a 1, o termo geral não tende a zero:
\lim_{n\to\infty} t_n \text{ não é }0 \quad(\text{na verdade os termos oscilam aproximadamente entre }-1\text{ e }1).ãé
Pelo teste necessário (Passo 2), se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Passo 5
Comentário extra (para fixar a ideia): mesmo sem considerar o sinal alternante, a série das magnitudes \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{n+2}
não só não tende a zero como tem termos maiores ou iguais a \dfrac{1}{2} para n\ge2 (pois \dfrac{n}{n+2}\ge\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}), portanto a soma dos módulos diverge de maneira óbvia. Assim não há convergência absoluta nem condicional — é divergência direta.