Questão 3. Sabe-se que uma das soluções da equação diferencial
a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0, \quad a, b, c \in \mathbb{R},
é dada por y_{1}=e^{\alpha x} \cos \beta x, em que \alpha=-\frac{b}{2 a} e \beta \in \mathbb{R}. Determine uma segunda solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a\,y^{\prime\prime}+b\,y^{\prime}+c\,y=0,\qquad a,b,c\in\mathbb{R},
e informa que uma solução é
y_{1}=e^{\alpha x}\cos\beta x,
onde \alpha=-\dfrac{b}{2a} e \beta\in\mathbb{R}. A pergunta é: determinar uma segunda solução linearmente independente de y_{1}.
Informações importantes do enunciado (resumindo):
  • A equação é de coeficientes constantes e de ordem 2.
  • Foi dada uma solução real y_{1}=e^{\alpha x}\cos\beta x.
  • Os parâmetros \alpha e \beta satisfazem \alpha=-\dfrac{b}{2a} e \beta\in\mathbb{R}.
  • Precisa-se de uma segunda solução linearmente independente (para formar a solução geral).

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia-chave (sem pular passos): para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções do tipo y=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo). Substituir y=e^{rx} em
a\,y^{\prime\prime}+b\,y^{\prime}+c\,y=0
leva à equação algébrica (a chamada equação característica)
a r^{2}+b r+c=0.
Aqui r é a incógnita dessa equação quadrática; suas raízes determinam a forma das soluções. Vou explicar o que significam as diferentes situações de raízes.

Passo 3

Se as raízes da característica forem complexas conjugadas, escrevemos
r=\alpha\pm i\beta,
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Para cada raiz complexa r=\alpha+i\beta a função complexa y=e^{rx}=e^{(\alpha+i\beta)x} é solução complexa da EDO. Usando a fórmula de Euler
e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x),
vê-se que as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)x} são soluções reais da EDO. Portanto, se os dois números \alpha\pm i\beta são raízes da característica, então as funções
e^{\alpha x}\cos\beta x \qquad\text{e}\qquad e^{\alpha x}\sin\beta x
são soluções reais da equação diferencial.
No enunciado já foi dada a primeira dessas soluções reais: y_{1}=e^{\alpha x}\cos\beta x. Pela teoria acima, uma candidata natural para a segunda solução é
y_{2}=e^{\alpha x}\sin\beta x,
quando \beta\neq 0. Vou agora justificar que essa y_{2} é linearmente independente de y_{1}.

Passo 4

Para mostrar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes calculamos o wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2}.
Calculemos as derivadas (vou fazer passo a passo):
y_{1}=e^{\alpha x}\cos\beta x, \qquad y_{1}^{\prime}=\alpha e^{\alpha x}\cos\beta x - \beta e^{\alpha x}\sin\beta x,
y_{2}=e^{\alpha x}\sin\beta x, \qquad y_{2}^{\prime}=\alpha e^{\alpha x}\sin\beta x + \beta e^{\alpha x}\cos\beta x.
Agora o wronskiano:
\begin{aligned} W(y_{1},y_{2})(x) &= e^{\alpha x}\cos\beta x\cdot\big(\alpha e^{\alpha x}\sin\beta x + \beta e^{\alpha x}\cos\beta x\big) \\\ &\quad -\big(\alpha e^{\alpha x}\cos\beta x - \beta e^{\alpha x}\sin\beta x\big)\cdot e^{\alpha x}\sin\beta x. \end{aligned}
Fatorando e^{2\alpha x} e simplificando os termos trigonométricos:
\begin{aligned} W(y_{1},y_{2})(x) &= e^{2\alpha x}\big(\alpha\cos\beta x\sin\beta x + \beta\cos^{2}\beta x -\alpha\cos\beta x\sin\beta x + \beta\sin^{2}\beta x\big)\\\ &= e^{2\alpha x}\beta\big(\cos^{2}\beta x+\sin^{2}\beta x\big)\\\ &= \beta e^{2\alpha x}. \end{aligned}
Como e^{2\alpha x} nunca é zero, concluímos que W(y_{1},y_{2})(x)=\beta e^{2\alpha x}. Portanto, se \beta\neq 0 o wronskiano é não nulo para todo x, o que garante que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam uma base de soluções.]

Passo 5

Tratamento do caso especial \beta=0. Se \beta=0 então a solução dada fica y_{1}=e^{\alpha x}\cos 0 = e^{\alpha x}. Nesse caso as raízes da equação característica coincidem: r=\alpha é raiz dupla (multiplicidade 2). Na teoria de EDOs com raízes repetidas, quando a raiz r=\alpha tem multiplicidade 2 as duas soluções independentes são
e^{\alpha x} \qquad\text{e}\qquad x e^{\alpha x}.
Uma maneira rápida de ver isso é lembrar que para uma raiz dupla a solução geral tem a forma (C_{1}+C_{2}x)e^{\alpha x}. Assim, quando \beta=0 a segunda solução linearmente independente adequada é y_{2}=x e^{\alpha x}.

Passo 6

Resumo didático (como aplicar na prova):
  • Identifique se a forma e^{\alpha x}\cos\beta x vem de raízes complexas \alpha\pm i\beta. Se sim e \beta\neq 0, a outra solução real é e^{\alpha x}\sin\beta x.
  • Cheque independência com o wronskiano; normalmente dará W=\beta e^{2\alpha x}, logo independente se \beta\neq 0.
  • Se \beta=0 então é raiz real dupla e a segunda solução é x e^{\alpha x}.

Resposta

y_{2}=e^{\alpha x}\sin\beta x (se \beta\neq 0)
y_{2}=x e^{\alpha x} (se \beta=0)

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