Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente.
(1.0) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3^{n}}
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral é a_n=\dfrac{1}{n+3^{n}}. Não há outras condições explícitas. O objetivo é concluir sobre a convergência da soma infinita dos a_n.

Passo 2

Observação inicial e estratégia (intuição): os termos a_n são positivos para todo n. Para n grande, 3^{n} cresce muito mais rápido que n, então espera-se que a_n se comporte como 1/3^{n}. Uma boa forma de transformar essa intuição em prova é comparar a_n com uma série geométrica convergente, usando o Teste de Comparação.
Vou explicar o que é a série geométrica e o teste que vou usar.
  • Série geométrica: uma série da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}. Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso o valor da soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso, se tomarmos r=\tfrac{1}{3} obtemos a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}, que converge porque \left|\tfrac{1}{3}\right|<1.
  • Teste da Comparação (versão direta): se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum índice e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Intuição: cada termo a_n é no máximo o correspondente b_n; somando infinitamente, a soma de a_n não pode ultrapassar a soma finita de b_n.

Passo 3

Construção da comparação. Para todo n\ge 1 vale a desigualdade
n+3^{n}\ge 3^{n},
pois n\ge0. Invertendo números positivos preserva-se a desigualdade, logo
\frac{1}{n+3^{n}} \le \frac{1}{3^{n}}.
Portanto, com a_n=\dfrac{1}{n+3^{n}} e b_n=\dfrac{1}{3^{n}}, temos 0\le a_n\le b_n para todo n\ge1.

Passo 4

Aplicando o Teste da Comparação: já visto que \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n} é uma série geométrica com razão \tfrac{1}{3}, portanto converge. Como 0\le a_n\le b_n, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3^{n}}
também converge.
(Opcional — outra justificativa rápida: pelo Teste da Comparação Límite, calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n+3^{n}}}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{n+3^{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\tfrac{n}{3^{n}}+1}=1,
como o limite é finito e positivo, a série tem o mesmo comportamento da geométrica \sum (1/3)^n, logo converge.)

Passo 5

Conclusão final e comentário motivador: a série converge por comparação com a série geométrica de razão \tfrac{1}{3}. Isto mostra o truque prático que vale a pena lembrar na prova: quando aparece n somado a uma exponencial a^{n} com a>1, a exponencial domina e geralmente basta comparar com uma série geométrica.

Resposta

Convergente.

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