Determine, em cada item, a solução da EDO dada.
ly^prime prime+4 y=0 y(0)=0, y^prime(0)=1,

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado pela EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' + 4y = 0, com y(0)=0 e y'(0)=1. Para resolver, vamos usar a equação característica e a combinação das soluções trigonométricas.

Passo 2

Assumindo uma solução do tipo y=e^rt, escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 4 = 0, cujas raízes são r = ,pm 2i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas com parte real zero e imaginária 2, a solução geral da EDO é
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t).

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=0 implica
y(0)=C1cos(0)+C2sin(0)=C1=0,
logo C1=0. Em seguida, calculamos a derivada
y'(t)=-2C1sin(2t)+2C2cos(2t)
e aplicamos y'(0)=1:
y'(0)=2C2=1 Rightarrow C2=tfrac12

Passo 5

Substituindo C1=0 e C2=tfrac12 na solução geral, obtemos a solução particular.

Resposta

y(t)=tfrac12sin(2t)

Exercícios relacionados