Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
13. sumk=1^infty 4^k+27^k-1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumk=1^infty 4^k+27^k-1 converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo principal é séries geométricas, então vamos precisar reescrever o termo geral no formato ar^k e aplicar a fórmula de soma.

Passo 2

Vamos manipular o termo geral 4^k+27^k-1. Note que 4^k+2=4^2cdot4^k=16,4^k e 7^k-1=7^k7. Assim:
4^k+27^k-1=16,4^k7^k7=16cdot7cdot4^k7^k=112l(47r)^k

Passo 3

Agora vemos que é uma série geométrica de razão r=tfrac47. Como |r|=4/7<1, a série converge.

Passo 4

Para calcular a soma, podemos usar a forma sumk=1^infty r^k=r1-r. Aqui há um fator 112, então
S=112sumk=1^inftyl(47r)^k=112cdottfrac471-tfrac47=112cdot4/73/7=112cdot43=4483

Resposta

A série converge e sua soma é 4483.

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