Uma formiga, no plano x y, está situada no ponto (4,1). A temperatura no ponto (x, y) é dada por f(x, y)=x^3-3 x y^2+10. Determine se a expectativa da formiga é de se aquecer ou se resfriar, se ela tender a se deslocar segundo o vetor v, nos casos:
b) v=lang<=-1,1rang<=

Passo 1

Resumo da questão: A formiga está no ponto (4,1) e a temperatura no plano xy é dada por f(x,y)=x³−3xy²+10. Queremos saber se ela esquenta ou esfria ao se mover na direção do vetor vec v=lang<= -1,1rang<=. Isso envolve derivada direcional.

Passo 2

Para descobrir se a temperatura aumenta ou diminui nessa direção, calculamos a derivada direcional de f no ponto (4,1) ao longo do vetor unitário em direção a vec v. A derivada direcional é dada por D uf(p)=nabla f(p)cdot u, onde u é o vetor unitário da direção.
Primeiro, calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=lang<=partial fpartial x,,partial fpartial yrang<==lang<= 3x^2-3y^2,,-6xyrang<=
Em seguida, avaliamos o gradiente no ponto (4,1):
nabla f(4,1)=lang<= 3cdot4^2-3cdot1^2,,-6cdot4cdot1rang<==lang<=45,-24rang<=
Agora, obtemos o vetor unitário na direção de vec v=lang<=-1,1rang<=:
u=lang<=-1,1rang<=raiz(-1)^2+1^2=lang<=-1,1rang<=raiz2
Por fim, calculamos a derivada direcional em (4,1):
D uf(4,1)=nabla f(4,1)cdot u=45cdot(-1)+(-24)cdot1raiz2=-69raiz2

Passo 3

O valor negativo indica que a temperatura diminui ao seguir essa direção.

Resposta

A expectativa da formiga é de se resfriar, pois a derivada direcional é -69/raiz2<0.

Exercícios relacionados