Uma formiga, no plano
, está situada no ponto (4,1). A temperatura no ponto
é dada por
. Determine se a expectativa da formiga é de se aquecer ou se resfriar, se ela tender a se deslocar segundo o vetor
, nos casos:
b)
b)
Passo 1
Resumo da questão: A formiga está no ponto (4,1) e a temperatura no plano xy é dada por f(x,y)=x³−3xy²+10. Queremos saber se ela esquenta ou esfria ao se mover na direção do vetor
. Isso envolve derivada direcional.
Passo 2
Para descobrir se a temperatura aumenta ou diminui nessa direção, calculamos a derivada direcional de f no ponto (4,1) ao longo do vetor unitário em direção a
. A derivada direcional é dada por
, onde
é o vetor unitário da direção.
Primeiro, calculamos o gradiente de f:
Primeiro, calculamos o gradiente de f:
Em seguida, avaliamos o gradiente no ponto (4,1):
Agora, obtemos o vetor unitário na direção de
:
Por fim, calculamos a derivada direcional em (4,1):
Passo 3
O valor negativo indica que a temperatura diminui ao seguir essa direção.
Resposta
A expectativa da formiga é de se resfriar, pois a derivada direcional é
.