Use o teste da razão para determinar se a série converge. Se - teste for inconclusivo, aponte isso.
12. sumk=1^infty 4^kk^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão para estudar a convergência da série sumk=1^infty 4^kk^2. O conteúdo é séries numéricas e especificamente o teste da razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

O teste da razão diz que, para os termos ak de uma série, definindo L = limk to infty |ak+1ak|, temos: se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos ak = 4^kk^2. Vamos calcular a razão:
ak+1ak = 4^k+1/(k+1)^24^k/k^2 = 4 cdot k^2(k+1)^2 = 4(kk+1)^2

Passo 4

Tomando o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty 4(kk+1)^2 = 4 cdot 1^2 = 4

Passo 5

Como L=4>1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão, pois o limite da razão dos termos é 4 (>1).

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