Determine em cada item para quais valores de t in R a curva é contínua:
r(t)=(e^-t, 2+t, 11+e^-t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de t a curva dada por r(t) = (e^-t,, 2 + t, 11 + e^-t) é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções em cálculo, onde verificamos se pequenas variações em t resultam em pequenas variações nas coordenadas da curva. Para resolver, vamos analisar cada componente da curva e ver onde elas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função f(t) é contínua em um ponto se o limite quando t se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que todas as componentes da curva sejam contínuas para que a curva inteira seja contínua.

Passo 3

Vamos examinar cada componente da curva r(t) :
  1. Primeira componente: e^-t
    A função exponencial e^-t é contínua para todos os reais t . Não há restrições aqui.
  2. Segunda componente: 2 + t
    Essa é uma função linear, que também é contínua para todos os reais t . Novamente, sem problemas.
  3. Terceira componente: 11 + e^-t
    Aqui precisamos prestar atenção. A função está definida como uma fração onde o denominador é 1 + e^-t . Sabemos que e^-t nunca é zero para nenhum valor real de t , então 1 + e^-t nunca será zero. Isso significa que o denominador nunca se anula, e, portanto, a função 11 + e^-t é contínua para todos os reais t .

Passo 4

Como todas as três componentes da curva r(t) são contínuas para todo t in R , podemos concluir que a curva r(t) é contínua para todos os valores de t nos números reais.

Resposta

A curva r(t) é contínua para todos os valores reais de t .

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