Determine em cada item para quais valores de
a curva é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de
a curva dada por
é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções em cálculo, onde verificamos se pequenas variações em
resultam em pequenas variações nas coordenadas da curva. Para resolver, vamos analisar cada componente da curva e ver onde elas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que todas as componentes da curva sejam contínuas para que a curva inteira seja contínua.
Passo 3
Vamos examinar cada componente da curva
:
-
Primeira componente:A função exponencial
é contínua para todos os reais . Não há restrições aqui. -
Segunda componente:Essa é uma função linear, que também é contínua para todos os reais
. Novamente, sem problemas. -
Terceira componente:Aqui precisamos prestar atenção. A função está definida como uma fração onde o denominador é
. Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de , então nunca será zero. Isso significa que o denominador nunca se anula, e, portanto, a função é contínua para todos os reais .
Passo 4
Como todas as três componentes da curva
são contínuas para todo
, podemos concluir que a curva
é contínua para todos os valores de
nos números reais.
Resposta
A curva
é contínua para todos os valores reais de
.