Determine em cada item para quais valores de t in R a curva é contínua:
r(t)=(cos t, sin t, sin 4 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir para quais valores de t a curva r(t) = (cos t, sin t, sin 4t) é contínua. A matéria aqui envolve funções contínuas e a continuidade de curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como isso se aplica em cada componente da curva r(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos” ou “interrupções” naquele ponto. Mais formalmente, uma função f(t) é contínua em t = a se:
limt to a f(t) = f(a)
Isso basicamente significa que ao se aproximar de a , o valor da função se aproxima de f(a) sem nenhuma quebra.

Passo 3

Agora, a curva r(t) é composta por três funções diferentes: cos t , sin t e sin 4t . Para a curva inteira ser contínua, cada uma dessas funções precisa ser contínua no mesmo intervalo de t .

Passo 4

Vamos analisar cada componente:
  1. cos t : A função cosseno é uma função trigonométrica básica que é contínua para todo t in R . Não tem interrupções ou saltos.
  2. sin t : Similarmente, a função seno também é contínua para todo t in R .
  3. sin 4t : Essa é apenas uma função seno com uma frequência multiplicada por 4. Mesmo assim, continua sendo contínua para todo t in R .

Passo 5

Como cada uma das componentes cos t , sin t e sin 4t são contínuas para todo t , a combinação delas na curva r(t) também será contínua para todo t .

Resposta

A curva r(t) = (cos t, sin t, sin 4t) é contínua para todos os valores de t in R .

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