Determine em cada item para quais valores de
a curva é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir para quais valores de
a curva
é contínua. A matéria aqui envolve funções contínuas e a continuidade de curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como isso se aplica em cada componente da curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos” ou “interrupções” naquele ponto. Mais formalmente, uma função
é contínua em
se:
Isso basicamente significa que ao se aproximar de
, o valor da função se aproxima de
sem nenhuma quebra.
Passo 3
Agora, a curva
é composta por três funções diferentes:
,
e
. Para a curva inteira ser contínua, cada uma dessas funções precisa ser contínua no mesmo intervalo de
.
Passo 4
Vamos analisar cada componente:
-
: A função cosseno é uma função trigonométrica básica que é contínua para todo . Não tem interrupções ou saltos. -
: Similarmente, a função seno também é contínua para todo . -
: Essa é apenas uma função seno com uma frequência multiplicada por 4. Mesmo assim, continua sendo contínua para todo .
Passo 5
Como cada uma das componentes
,
e
são contínuas para todo
, a combinação delas na curva
também será contínua para todo
.
Resposta
A curva
é contínua para todos os valores de
.