Determine em cada item para quais valores de t in R a curva é contínua:
r(t)=(-11-t^2, t^23)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por r(t) = (-11 - t^2, t^23) e queremos saber para quais valores de t essa curva é contínua. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente sobre continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva é contínua se todas as suas componentes são contínuas no intervalo considerado. No nosso caso, temos duas funções:
  1. x(t) = -11 - t^2
  2. y(t) = t^23
Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 3

Começando com x(t) = -11 - t^2 , a continuidade dessa função depende de onde o denominador 1 - t^2 não é zero. Se o denominador for zero, a função não está definida e, portanto, não é contínua nesse ponto.
Então, resolvendo 1 - t^2 = 0 :
t^2 = 1
t = pm 1
Isso significa que x(t) não é contínua quando t = 1 ou t = -1 .

Passo 4

Agora, vamos olhar para y(t) = t^23 . A função potência t^k é contínua para todos os t reais, a menos que o expoente torne a função indefinida ou não derivável. No caso de 23 , como é uma fração com expoente positivo, a função está definida para todos os t reais, inclusive para números negativos (já que elevar ao quadrado elimina o sinal e a raiz cúbica está definida para todos os reais).
Portanto, y(t) é contínua para todo t in R .

Resposta

A curva r(t) = (-11 - t^2, t^23) é contínua para todos os valores de t in R exceto quando t = 1 e t = -1 .

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