Determine em cada item a velocidade e aceleração da curva dada em cada ponto do domínio:
r(t)=(-11-t^2, t^23)

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar duas coisas da curva
r(t)=l(-11-t^2,,t^2/3r):
  1. A velocidade v(t)=r'(t)
  2. A aceleração a(t)=r''(t)
Matéria: derivada de função vetorial, ou seja, derivar cada componente usando regra da potência, da cadeia e, quando necessário, do produto.
Fique ligado no domínio: r(t) existe para tneqpm1, e as derivadas de t^2/3 não existem em t=0, então vamos falar de tneq-1,0,1.

Passo 2

Calcular a velocidade v(t)=r'(t) componente a componente.
  1. Componente x(t)=-11-t^2.
    • Definimos u(t)=1-t^2, então x(t)=-u^-1.
    • u'(t)=-2t.
    • Pela regra da cadeia,
      ddt[-,u^-1]=-,(-1),u^-2,u' = -2t(1-t^2)^2.
  2. Componente y(t)=t^2/3.
    • Regra da potência:
      ddtl(t^2/3r)=23,t^-1/3
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v(t) =gl( -2t(1-t^2)^2,; 23,t^-1/3 gr)

Passo 3

Agora a aceleração a(t)= v'(t)=r''(t).
  1. Derivar v1(t)=-2t,(1-t^2)^-2.
    • Use regra do produto: f(t)=-2t, g(t)=(1-t^2)^-2.
      f'(t)=-2.
      g'(t)=-2,(1-t^2)^-3cdot(-2t)=4t,(1-t^2)^-3
    • Então
a1(t)=f'(t),g(t)+f(t),g'(t) =-2,(1-t^2)^-2 +(-2t),4t,(1-t^2)^-3 =-2(1-t^2)^2-8t^2(1-t^2)^3
  • Se quiser simplificar num só denominador:
    a1(t)=-2+6t^2(1-t^2)^3=-2(1+3t^2)(1-t^2)^3
  1. Derivar v2(t)=tfrac23t^-1/3.
    • Outra potência:
      a2(t)=23cdotl(-tfrac13r)t^-4/3 =-29t^-4/3
Portanto
a(t) =l( -tfrac2(1-t^2)^2-tfrac8t^2(1-t^2)^3,; -tfrac29t^-4/3 r)
ou, de forma mais enxuta,
a(t) =l( -tfrac2(1+3t^2)(1-t^2)^3,; -tfrac29t^-4/3 r)

Resposta

Velocidade:
boxed v(t) =l( -2t(1-t^2)^2,;23t^-1/3 r)
Aceleração:
boxed a(t) =l( -2(1-t^2)^2-8t^2(1-t^2)^3,; -29t^-4/3 r) ;l(ou (-2(1+3t^2)/(1-t^2)^3,,-2/(9,t^4/3))r)
Válido para tneq -1,0,1.

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