Determine (x) em cada um dos itens:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
Vou determinar (inferindo o pedido mais comum para esse tipo de exercício) o domínio de
e a derivada
. Essas duas respostas são úteis na prova para estudar continuidade, monotonicidade e pontos críticos.
Passo 2
Determinar o domínio: a única restrição vem do logaritmo. Para que
esteja definido no conjunto dos reais é necessário que o argumento seja positivo:
Resolver essa desigualdade: a função
é estritamente crescente (polinômio de grau ímpar), e
. Assim
quando
Portanto o domínio de
é o intervalo
Passo 3
Relembrando regras de derivação que vou usar (mini‑aula):
- Regra da cadeia: se
então . Ou seja, derivar do “lado de fora” e multiplicar pela derivada do “lado de dentro”. - Derivada de
em função de é . - Derivada de
em função de é . - Derivada de
(com ) é . Em particular, .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 4
Derivar o primeiro termo
:
- Seja
. Então, pela regra do logaritmo,
(Explicação: derivada de
é
; aqui
e
.)
- Agora aplique a regra da cadeia para
:
Substituindo
,
Passo 5
Derivar o segundo termo
:
- Usando a regra da exponencial com base
,
Passo 6
Somando as derivadas dos termos (derivada da soma é soma das derivadas) obtemos
. Colocando o resultado em bloco isolado:
válido para todo
do domínio
.
Passo 7
Comentário didático sobre a interpretação de
(pontos críticos) e sinal de
:
- A equação
é
que é uma equação transcendente (envolve exponencial e seno de logaritmo). Geralmente não se resolve analiticamente; usa‑se método numérico (Newton, bisseção) para encontrar raízes específicas.
- Algumas observações qualitativas úteis na prova:
- Em
temos . Logo a função é crescente em . - Quando
, e fica limitado em , enquanto . Assim para suficientemente grande. - Quando
, temos e . Então o fator tende a enquanto oscila entre e . Portanto o termo oscila com amplitude crescente e o sinal muda frequentemente perto de . Isso implica que há oscilações do sinal de muito próximas de e, em particular, existência de muitas (infinitas) mudanças de sinal acumulando em . Logo a função não é monotônica simples em todo o domínio; perto de há muitos intervalos onde ela sobe e desce.
- Em
- Conclusão prática: para questões de prova, é suficiente apresentar o domínio e a expressão de
, e para achar pontos críticos específicos usar cálculo numérico; para justificar monotonicidade em intervalos amplos pode-se usar os limites acima.
Resposta
Domínio: