Determine (x) em cada um dos itens:
f(x)=\cos \left(\ln \left(x^{3}+1\right)\right)+2^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\cos\!\big(\ln\!\big(x^{3}+1\big)\big)+2^{x}.
Vou determinar (inferindo o pedido mais comum para esse tipo de exercício) o domínio de f e a derivada f'(x). Essas duas respostas são úteis na prova para estudar continuidade, monotonicidade e pontos críticos.

Passo 2

Determinar o domínio: a única restrição vem do logaritmo. Para que \ln\!\big(x^{3}+1\big) esteja definido no conjunto dos reais é necessário que o argumento seja positivo:
x^{3}+1>0.
Resolver essa desigualdade: a função g(x)=x^{3}+1 é estritamente crescente (polinômio de grau ímpar), e g(-1)=(-1)^{3}+1=0. Assim x^{3}+1>0 quando
x>-1.
Portanto o domínio de f é o intervalo
(-1,\infty).

Passo 3

Relembrando regras de derivação que vou usar (mini‑aula):
  • Regra da cadeia: se h(x)=\varphi(\psi(x)) então h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x). Ou seja, derivar do “lado de fora” e multiplicar pela derivada do “lado de dentro”.
  • Derivada de \cos(u) em função de u é -\sin(u)\cdot u'.
  • Derivada de \ln(v) em função de v é v'/v.
  • Derivada de a^{x} (com a>0) é a^{x}\ln a. Em particular, \dfrac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Derivar o primeiro termo \cos\!\big(\ln(x^{3}+1)\big):
  • Seja u(x)=\ln(x^{3}+1). Então, pela regra do logaritmo,
u'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x^{3}+1)=\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}.
(Explicação: derivada de \ln(v) é v'/v; aqui v=x^{3}+1 e v'=3x^{2}.)
  • Agora aplique a regra da cadeia para \cos(u(x)):
\frac{d}{dx}\cos\!\big(\ln(x^{3}+1)\big)=-\sin\!\big(\ln(x^{3}+1)\big)\cdot u'(x).
Substituindo u'(x),
\frac{d}{dx}\cos\!\big(\ln(x^{3}+1)\big)=-\sin\!\big(\ln(x^{3}+1)\big)\cdot\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}.

Passo 5

Derivar o segundo termo 2^{x}:
  • Usando a regra da exponencial com base 2,
\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (derivada da soma é soma das derivadas) obtemos f'(x). Colocando o resultado em bloco isolado:
f'(x)=-\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}\,\sin\!\big(\ln(x^{3}+1)\big)+2^{x}\ln 2,
válido para todo x do domínio x>-1.

Passo 7

Comentário didático sobre a interpretação de f'(x)=0 (pontos críticos) e sinal de f'(x):
  • A equação f'(x)=0 é
2^{x}\ln 2=\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}\,\sin\!\big(\ln(x^{3}+1)\big),
que é uma equação transcendente (envolve exponencial e seno de logaritmo). Geralmente não se resolve analiticamente; usa‑se método numérico (Newton, bisseção) para encontrar raízes específicas.
  • Algumas observações qualitativas úteis na prova:
    • Em x=0 temos f'(0)= -0 + 2^{0}\ln 2=\ln 2>0. Logo a função é crescente em x=0.
    • Quando x\to\infty, \dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1}\sim \dfrac{3}{x}\to 0 e \sin(\ln(x^{3}+1)) fica limitado em [-1,1], enquanto 2^{x}\ln 2\to\infty. Assim f'(x)>0 para x suficientemente grande.
    • Quando x\to -1^{+}, temos x^{3}+1\to 0^{+} e \ln(x^{3}+1)\to -\infty. Então o fator \dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1} tende a +\infty enquanto \sin(\ln(x^{3}+1)) oscila entre -1 e 1. Portanto o termo -\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1}\sin(\ln(\cdot)) oscila com amplitude crescente e o sinal muda frequentemente perto de -1. Isso implica que há oscilações do sinal de f'(x) muito próximas de -1 e, em particular, existência de muitas (infinitas) mudanças de sinal acumulando em -1. Logo a função não é monotônica simples em todo o domínio; perto de -1 há muitos intervalos onde ela sobe e desce.
  • Conclusão prática: para questões de prova, é suficiente apresentar o domínio e a expressão de f'(x), e para achar pontos críticos específicos usar cálculo numérico; para justificar monotonicidade em intervalos amplos pode-se usar os limites acima.

Resposta

Domínio: (-1,\infty)
f'(x)=-\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1}\,\sin\!\big(\ln(x^{3}+1)\big)+2^{x}\ln 2

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