Questão 2 Um sistema massa-mola-amortecedor consiste em uma massa de m=4 \mathrm{~kg}, uma mola com constante k=36 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e um amortecedor com coeficiente c=24 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m} (amortecimento crítico). O sistema é submetido a uma força externa periódica F(t)=8 \cos (2 t) N. Inicialmente, a massa está em repouso na posição de equilíbrio.
(a) Verifique que o sistema possui amortecimento crítico e escreva a equação diferencial do movimento.
(b) Encontre a solução geral da equação homogênea associada (solução transiente).
(c) Determine uma solução particular da equação não homogênea (solução permanente).
(d) Encontre a solução completa que satisfaz as condições iniciais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo o que preciso usar depois).
  • Dados do sistema:
    • massa: \,m=4\\ \mathrm{kg}.
    • constante da mola: \,k=36\\ \mathrm{N/m}.
    • coeficiente do amortecedor: \,c=24\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
    • força externa: \,F(t)=8\cos(2t)\\ \mathrm{N}.
  • Condições iniciais: a massa está em repouso na posição de equilíbrio, ou seja:
    • \,x(0)=0,
    • \,x'(0)=0.
  • O enunciado pede:
    (a) verificar que o sistema possui amortecimento crítico e escrever a equação diferencial do movimento;
    (b) encontrar a solução geral da equação homogênea associada (solução transiente);
    (c) determinar uma solução particular da equação não homogênea (solução permanente);
    (d) encontrar a solução completa que satisfaz as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro escrevo a equação diferencial de movimento e verifico o amortecimento crítico.
  • A equação padrão para um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a F(t) é
m x''(t) + c x'(t) + k x(t) = F(t).
  • Substituindo os valores dados:
4\,x''(t) + 24\,x'(t) + 36\,x(t) = 8\cos(2t).
Agora verifico o amortecimento crítico. O coeficiente de amortecimento crítico \,c_{\text{cr}} é dado por
c_{\text{cr}} = 2\sqrt{m k}.
Calculo \sqrt{m k}=\sqrt{4\cdot 36}=\sqrt{144}=12, então
c_{\text{cr}} = 2\cdot 12 = 24.
Como o coeficiente dado \,c=24 coincide com \,c_{\text{cr}}, o sistema está criticamente amortecido.

Passo 3

Encontro a solução homogênea (transiente). Para isso considero a equação homogênea associada:
4x''+24x'+36x=0.
Divido por 4 para simplificar:
x'' + 6x' + 9x = 0.
  • Escrevo a equação característica: \,r^{2}+6r+9=0.
  • Resolvo a quadrática: \,r^{2}+6r+9=(r+3)^{2}. Logo existe uma raiz dupla
r=-3\quad\text{(multiplicidade 2)}.
  • Para uma raiz dupla \,r=-3 a solução geral homogênea é
x_{h}(t) = \big(C_{1}+C_{2}\,t\big)e^{-3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação curta (intuitiva): com raiz dupla a solução tem o termo extra em t multiplicando a exponencial para fornecer duas soluções linearmente independentes.

Passo 4

Agora determino uma solução particular x_{p}(t) para a força forçante \,8\cos(2t). Uso o método dos coeficientes indeterminados.
  • Como o forçante é senoidal com frequência \omega=2 e não coincide com raízes imaginárias da homogênea, assumo a forma
x_{p}(t) = A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A e B são constantes a determinar.
  • Calculo derivadas necessárias:
x_{p}'(t) = -2A\sin(2t)+2B\cos(2t),
x_{p}''(t) = -4A\cos(2t)-4B\sin(2t).
  • Substituo na equação original 4x''+24x'+36x=8\cos(2t). Faço isso coletando coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
Multiplicando x_{p}'' por 4:
4x_{p}'' = -16A\cos(2t)-16B\sin(2t).
Multiplicando x_{p}' por 24:
24x_{p}' = -48A\sin(2t)+48B\cos(2t).
Multiplicando x_{p} por 36:
36x_{p} = 36A\cos(2t)+36B\sin(2t).
Somando os três termos, o lado esquerdo fica
( -16A + 48B + 36A )\cos(2t) + ( -16B -48A +36B )\sin(2t).
Simplificando coeficientes:
(20A + 48B)\cos(2t) + (20B - 48A)\sin(2t).
Isso deve ser igual a 8\cos(2t)+0\sin(2t). Portanto obtemos o sistema linear para A,B:
\begin{cases} 20A + 48B = 8,\\[4pt] -48A + 20B = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo o sistema para A e B.
  • Da segunda equação -48A + 20B = 0 segue
20B = 48A \quad\Rightarrow\quad B = \dfrac{48}{20}A = \dfrac{12}{5}A.
  • Substituo na primeira equação:
20A + 48\left(\dfrac{12}{5}A\right) = 8.
Calculo o termo:
48\cdot\dfrac{12}{5}A = \dfrac{576}{5}A.
Somando com 20A=\dfrac{100}{5}A obtemos
\left(\dfrac{100}{5} + \dfrac{576}{5}\right)A = \dfrac{676}{5}A = 8.
Logo
A = 8\cdot\dfrac{5}{676} = \dfrac{40}{676} = \dfrac{10}{169}.
E então
B = \dfrac{12}{5}A = \dfrac{12}{5}\cdot\dfrac{10}{169} = \dfrac{120}{845} = \dfrac{24}{169}.
  • Portanto a solução particular é
x_{p}(t)=\dfrac{10}{169}\cos(2t)+\dfrac{24}{169}\sin(2t).
Observação prática: a amplitude desta resposta forçada é
\sqrt{\left(\dfrac{10}{169}\right)^{2}+\left(\dfrac{24}{169}\right)^{2}}=\dfrac{26}{169}=\dfrac{2}{13},
o que confirma que a resposta permanente é um senoide de amplitude 2/13 e frequência 2.

Passo 6

Formo a solução geral (transiente + permanente) e aplico as condições iniciais para encontrar C_{1} e C_{2}.
  • Solução geral:
x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t) = \big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{-3t} + \dfrac{10}{169}\cos(2t) + \dfrac{24}{169}\sin(2t).
  • Condição x(0)=0:
x(0) = (C_{1}+C_{2}\cdot 0)\,e^{0} + \dfrac{10}{169}\cos 0 + \dfrac{24}{169}\sin 0 = C_{1} + \dfrac{10}{169} = 0.
Logo
C_{1} = -\dfrac{10}{169}.
  • Agora preciso de x'(t). Derivo x_{h} e x_{p}.
Derivada do transiente:
\frac{d}{dt}\big[(C_{1}+C_{2}t)e^{-3t}\big] = \big(C_{2}-3(C_{1}+C_{2}t)\big)e^{-3t}.
Derivada do particular (já calculada antes):
x_{p}'(t) = -2\cdot\dfrac{10}{169}\sin(2t) + 2\cdot\dfrac{24}{169}\cos(2t).
Em t=0 temos:
x'(0) = \big(C_{2}-3C_{1}\big)\cdot 1 + 0 + 2\cdot\dfrac{24}{169} = C_{2}-3C_{1} + \dfrac{48}{169}.
A condição x'(0)=0
C_{2}-3C_{1} + \dfrac{48}{169} = 0.
Substituo C_{1}=-\dfrac{10}{169}:
C_{2} - 3\left(-\dfrac{10}{169}\right) + \dfrac{48}{169} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_{2} + \dfrac{30}{169} + \dfrac{48}{169} = 0.
Somando os termos fracionários:
C_{2} + \dfrac{78}{169} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_{2} = -\dfrac{78}{169}.
Observação: \dfrac{78}{169} = \dfrac{6}{13}, então também se pode escrever C_{2}=-\dfrac{6}{13}.

Passo 7

Escrevo a solução completa com os valores encontrados para C_{1} e C_{2}.
  • Substituindo C_{1}=-\dfrac{10}{169} e C_{2}=-\dfrac{78}{169} na expressão geral:
x(t) = \left(-\dfrac{10}{169} - \dfrac{78}{169}\,t\right)e^{-3t} + \dfrac{10}{169}\cos(2t) + \dfrac{24}{169}\sin(2t).
  • Interpretação rápida: o primeiro termo é o transiente criticamente amortecido que decai como e^{-3t} (com um fator linear em t devido à raiz dupla); os dois últimos termos formam a resposta permanente senoidal de amplitude \dfrac{2}{13} e frequência 2.

Resposta

(a) O sistema é criticamente amortecido, pois \;c_{\text{cr}}=2\sqrt{m k}=24=c. A equação diferencial é
4x''(t)+24x'(t)+36x(t)=8\cos(2t).
(b) Solução geral da homogênea (transiente):
x_{h}(t)=\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{-3t}.
(c) Uma solução particular (permanente) é
x_{p}(t)=\dfrac{10}{169}\cos(2t)+\dfrac{24}{169}\sin(2t).
(d) Solução completa que satisfaz x(0)=0,\;x'(0)=0:
x(t)=\left(-\dfrac{10}{169}-\dfrac{78}{169}\,t\right)e^{-3t}+\dfrac{10}{169}\cos(2t)+\dfrac{24}{169}\sin(2t).

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