Questão 2 Um sistema massa-mola-amortecedor consiste em uma massa de
, uma mola com constante
e um amortecedor com coeficiente
(amortecimento crítico). O sistema é submetido a uma força externa periódica
N. Inicialmente, a massa está em repouso na posição de equilíbrio.
(a) Verifique que o sistema possui amortecimento crítico e escreva a equação diferencial do movimento.
(b) Encontre a solução geral da equação homogênea associada (solução transiente).
(c) Determine uma solução particular da equação não homogênea (solução permanente).
(d) Encontre a solução completa que satisfaz as condições iniciais.
(a) Verifique que o sistema possui amortecimento crítico e escreva a equação diferencial do movimento.
(b) Encontre a solução geral da equação homogênea associada (solução transiente).
(c) Determine uma solução particular da equação não homogênea (solução permanente).
(d) Encontre a solução completa que satisfaz as condições iniciais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo o que preciso usar depois).
- Dados do sistema:
- massa:
. - constante da mola:
. - coeficiente do amortecedor:
. - força externa:
.
- massa:
- Condições iniciais: a massa está em repouso na posição de equilíbrio, ou seja:
-
, -
.
-
- O enunciado pede:
(a) verificar que o sistema possui amortecimento crítico e escrever a equação diferencial do movimento;
(b) encontrar a solução geral da equação homogênea associada (solução transiente);
(c) determinar uma solução particular da equação não homogênea (solução permanente);
(d) encontrar a solução completa que satisfaz as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro escrevo a equação diferencial de movimento e verifico o amortecimento crítico.
- A equação padrão para um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a
é
- Substituindo os valores dados:
Agora verifico o amortecimento crítico. O coeficiente de amortecimento crítico
é dado por
Calculo
, então
Como o coeficiente dado
coincide com
, o sistema está criticamente amortecido.
Passo 3
Encontro a solução homogênea (transiente). Para isso considero a equação homogênea associada:
Divido por
para simplificar:
- Escrevo a equação característica:
. - Resolvo a quadrática:
. Logo existe uma raiz dupla
- Para uma raiz dupla
a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação curta (intuitiva): com raiz dupla a solução tem o termo extra em multiplicando a exponencial para fornecer duas soluções linearmente independentes.
Explicação curta (intuitiva): com raiz dupla a solução tem o termo extra em
Passo 4
Agora determino uma solução particular
para a força forçante
. Uso o método dos coeficientes indeterminados.
- Como o forçante é senoidal com frequência
e não coincide com raízes imaginárias da homogênea, assumo a forma
onde
e
são constantes a determinar.
- Calculo derivadas necessárias:
- Substituo na equação original
. Faço isso coletando coeficientes de e :
Multiplicando
por
:
Multiplicando
por
:
Multiplicando
por
:
Somando os três termos, o lado esquerdo fica
Simplificando coeficientes:
Isso deve ser igual a
. Portanto obtemos o sistema linear para
:
Passo 5
Resolvo o sistema para
e
.
- Da segunda equação
segue
- Substituo na primeira equação:
Calculo o termo:
Somando com
obtemos
Logo
E então
- Portanto a solução particular é
Observação prática: a amplitude desta resposta forçada é
o que confirma que a resposta permanente é um senoide de amplitude
e frequência
.
Passo 6
Formo a solução geral (transiente + permanente) e aplico as condições iniciais para encontrar
e
.
- Solução geral:
- Condição
:
Logo
- Agora preciso de
. Derivo e .
Derivada do transiente:
Derivada do particular (já calculada antes):
Em
temos:
A condição
dá
Substituo
:
Somando os termos fracionários:
Observação:
, então também se pode escrever
.
Passo 7
Escrevo a solução completa com os valores encontrados para
e
.
- Substituindo
e na expressão geral:
- Interpretação rápida: o primeiro termo é o transiente criticamente amortecido que decai como
(com um fator linear em devido à raiz dupla); os dois últimos termos formam a resposta permanente senoidal de amplitude e frequência .
Resposta
(a) O sistema é criticamente amortecido, pois
. A equação diferencial é
(b) Solução geral da homogênea (transiente):
(c) Uma solução particular (permanente) é
(d) Solução completa que satisfaz
: