Determine (x) em cada um dos itens:
\operatorname{tg}(x+2 y)=y^{2} e^{4 x}+\log _{3}(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação
\operatorname{tg}(x+2y)=y^{2}e^{4x}+\log_{3}(x),
e pede determinar x. Aqui há duas coisas importantes a notar (pegue estas informações do enunciado):
  • A incógnita explícita é x; a letra y aparece também, portanto trata‑se de uma equação em x com parâmetro y.
  • Dados relevantes extraídos do enunciado:
    • Há uma função tangente no membro esquerdo: \operatorname{tg}(x+2y).
    • Há um termo exponencial e um logaritmo no membro direito: y^{2}e^{4x} e \log_{3}(x).
O enunciado só fornece a equação acima; não diz valores numéricos para y. Logo o que nos resta é estudar soluções x em função de um y fixo (tratado como parâmetro).

Passo 2

Domínio e restrições (informação essencial antes de tentar resolver):
  • O logaritmo \log_{3}(x) exige que x>0. Portanto qualquer solução válida deve satisfazer \;x>0.
  • A tangente \operatorname{tg}(t) (escrevo t=x+2y) é indefinida quando t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Assim devemos evitar valores de x tais que x+2y=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}-2y+k\pi.Esses pontos são assíntotas verticais da tangente e não pertencem ao domínio da equação.
Resumo de domínio: procurar x>0 e x\neq \dfrac{\pi}{2}-2y+k\pi para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Reescrever a equação como uma função cuja raiz procuramos. Defina, para x>0,
f(x)=y^{2}e^{4x}+\log_{3}(x)-\tan(x+2y).
Procuramos soluções de f(x)=0.
Comentário sobre possibilidade de solução analítica: a equação mistura \tan(\cdot), exponencial e logaritmo. Isso é uma equação transcendental em x; em geral não existe fórmula fechada (algebraica) para x. Portanto a abordagem adequada é análise de existência/quantidade de raízes e/ou métodos numéricos para aproximá‑las.

Passo 4

Análise de existência (uso do comportamento da tangente nas suas faixas de continuidade).
A tangente, como função de x, tem assíntotas em
x=\frac{\pi}{2}-2y+k\pi,
e, em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas, é contínua e varia de -\infty a +\infty. Considere os intervalos
I_k=\Big(k\pi-2y-\frac{\pi}{2},\;k\pi-2y+\frac{\pi}{2}\Big), \qquad k\in\mathbb{Z},
nos quais \tan(x+2y) é contínua. Em qualquer tal intervalo (onde também f é contínua exceto nos pontos onde x\le0), observe os limites laterais:
  • Se x\to\big(k\pi-2y-\tfrac{\pi}{2}\big)^+ então \tan(x+2y)\to -\infty, logo -\tan(x+2y)\to +\infty e portanto f(x)\to +\infty.
  • Se x\to\big(k\pi-2y+\tfrac{\pi}{2}\big)^- então \tan(x+2y)\to +\infty, logo -\tan(x+2y)\to -\infty e f(x)\to -\infty.
Como f é contínua dentro do intervalo (exceto pontos onde x\le0), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um x com f(x)=0 em cada intervalo I_k que intersecte o semieixo positivo (0,\infty). Como há infinitos k com I_k deslocando‑se para a direita, existem infinitos intervalos que intersectam (0,\infty). Conclusão importante:
  • Para qualquer valor fixo de y, a equação tem pelo menos uma solução x em cada intervalo I_k\cap(0,\infty). Em particular existem infinitas soluções positivas x.
Nota sobre o primeiro intervalo próximo de 0: o intervalo I_k que contém x próximo de 0 pode ou não conter raiz, porque \log_{3}(x)\to -\infty quando x\to0^+, e isso altera o sinal de f perto de 0. Portanto a garantia de pelo menos uma raiz vale para todos os intervalos suficientemente à direita (e, em geral, para todo I_k que intersecte (0,\infty) temos pelo menos uma raiz). Em resumo: infinitas raízes positivas, mas não há expressão fechada para elas.

Passo 5

Como calcular numericamente uma raiz em um intervalo dado (procedimento prático para a prova):
  1. Escolher um k cuja I_k intersecta (0,\infty). Definir
a=k\pi-2y-\frac{\pi}{2}+\varepsilon,\qquad b=k\pi-2y+\frac{\pi}{2}-\varepsilon,
com \varepsilon>0 pequeno para ficar longe das assíntotas; então a<b e a,b>0 para k suficientemente grande.
  1. Pelo raciocínio do passo anterior, f(a)>0 e f(b)<0. Como f é contínua em [a,b], há raiz e podemos aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação com erro controlado. Bissecção é robusta (converge sempre sob mudança de sinal).
  2. Depois de obter uma aproximação grossa com bissecção, usar Newton–Raphson para acelerar a convergência. Para isso precisamos f'(x).

Passo 6

Derivada f'(x) (útil para Newton). Diferenciando f temos
f'(x)=4y^{2}e^{4x}+\frac{1}{x\ln 3}-\operatorname{sec}^{2}(x+2y),
onde \operatorname{sec}^{2}(t)=\dfrac{1}{\cos^{2}(t)} é a derivada de \tan(t) multiplicada por -1 (pois temos -\tan em f).
A iteração de Newton fica, para uma aproximação x_n,
x_{n+1}=x_{n}-\frac{y^{2}e^{4x_n}+\log_{3}(x_n)-\tan(x_n+2y)} {\,4y^{2}e^{4x_n}+\dfrac{1}{x_n\ln 3}-\operatorname{sec}^{2}(x_n+2y)\,}.
Dicas práticas: escolha x_0 próximo ao centro do intervalo, por exemplo x_0=k\pi-2y (onde \tan é zero). Se o denominador ficar muito pequeno (possível se 4y^{2}e^{4x}\!+\!\dfrac{1}{x\ln 3}\approx\operatorname{sec}^{2}(x+2y)) prefira a bissecção, pois Newton pode divergir.

Passo 7

Resumo didático e um exemplo qualitativo (sem pedir valores de y):
  • Importante: não existe expressão fechada para x em função de y.
  • Para cada y fixo há infinitas soluções x>0: ao menos uma em cada intervalo I_k=\Big(k\pi-2y-\frac{\pi}{2},\;k\pi-2y+\frac{\pi}{2}\Big)que intersecte (0,\infty).
  • Para obter valores numéricos:
    • brackete a raiz com a,b próximos às bordas do intervalo I_k e aplique bissecção;
    • refine com Newton usando a fórmula do passo anterior.
Exemplo rápido de interpretação (caso y=0): a equação vira
\tan x=\log_{3}(x). Como \tan x tem assíntotas em x=\pi/2+k\pi, existe pelo menos uma solução em cada intervalo (k\pi-\pi/2,k\pi+\pi/2) que esteja no semieixo x>0, portanto infinitas soluções positivas; para aproximá‑las procede‑se exatamente como expliquei.

Resposta

Não existe solução em forma fechada para x. Para cada y fixo a equação tem pelo menos uma solução em cada intervalo
\Big(k\pi-2y-\frac{\pi}{2},\;k\pi-2y+\frac{\pi}{2}\Big)\cap(0,\infty),\qquad k\in\mathbb{Z},
logo há infinitas soluções positivas x. Para aproximar numericamente uma solução em um desses intervalos use bissecção para obter um bracket e, se desejar, refine com Newton usando
x_{n+1}=x_{n}-\frac{y^{2}e^{4x_n}+\log_{3}(x_n)-\tan(x_n+2y)} {\,4y^{2}e^{4x_n}+\dfrac{1}{x_n\ln 3}-\operatorname{sec}^{2}(x_n+2y)\,}.

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