Determine (x) em cada um dos itens:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede determinar
. Aqui há duas coisas importantes a notar (pegue estas informações do enunciado):
- A incógnita explícita é
; a letra aparece também, portanto trata‑se de uma equação em com parâmetro . - Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Há uma função tangente no membro esquerdo:
. - Há um termo exponencial e um logaritmo no membro direito:
e .
- Há uma função tangente no membro esquerdo:
O enunciado só fornece a equação acima; não diz valores numéricos para
. Logo o que nos resta é estudar soluções
em função de um
fixo (tratado como parâmetro).
Passo 2
Domínio e restrições (informação essencial antes de tentar resolver):
- O logaritmo
exige que . Portanto qualquer solução válida deve satisfazer . - A tangente
(escrevo ) é indefinida quando , . Assim devemos evitar valores de tais que Esses pontos são assíntotas verticais da tangente e não pertencem ao domínio da equação.
Resumo de domínio: procurar
e
para todo
.
Passo 3
Reescrever a equação como uma função cuja raiz procuramos. Defina, para
,
Procuramos soluções de
.
Comentário sobre possibilidade de solução analítica: a equação mistura
, exponencial e logaritmo. Isso é uma equação transcendental em
; em geral não existe fórmula fechada (algebraica) para
. Portanto a abordagem adequada é análise de existência/quantidade de raízes e/ou métodos numéricos para aproximá‑las.
Passo 4
Análise de existência (uso do comportamento da tangente nas suas faixas de continuidade).
A tangente, como função de
, tem assíntotas em
e, em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas, é contínua e varia de
a
. Considere os intervalos
nos quais
é contínua. Em qualquer tal intervalo (onde também
é contínua exceto nos pontos onde
), observe os limites laterais:
- Se
então , logo e portanto . - Se
então , logo e .
Como
é contínua dentro do intervalo (exceto pontos onde
), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
com
em cada intervalo
que intersecte o semieixo positivo
. Como há infinitos
com
deslocando‑se para a direita, existem infinitos intervalos que intersectam
. Conclusão importante:
- Para qualquer valor fixo de
, a equação tem pelo menos uma solução em cada intervalo . Em particular existem infinitas soluções positivas .
Nota sobre o primeiro intervalo próximo de
: o intervalo
que contém
próximo de
pode ou não conter raiz, porque
quando
, e isso altera o sinal de
perto de
. Portanto a garantia de pelo menos uma raiz vale para todos os intervalos suficientemente à direita (e, em geral, para todo
que intersecte
temos pelo menos uma raiz). Em resumo: infinitas raízes positivas, mas não há expressão fechada para elas.
Passo 5
Como calcular numericamente uma raiz em um intervalo dado (procedimento prático para a prova):
- Escolher um
cuja intersecta . Definir
com
pequeno para ficar longe das assíntotas; então
e
para
suficientemente grande.
-
Pelo raciocínio do passo anterior,
e . Como é contínua em , há raiz e podemos aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação com erro controlado. Bissecção é robusta (converge sempre sob mudança de sinal). -
Depois de obter uma aproximação grossa com bissecção, usar Newton–Raphson para acelerar a convergência. Para isso precisamos
.
Passo 6
Derivada
(útil para Newton). Diferenciando
temos
onde
é a derivada de
multiplicada por
(pois temos
em
).
A iteração de Newton fica, para uma aproximação
,
Dicas práticas: escolha
próximo ao centro do intervalo, por exemplo
(onde
é zero). Se o denominador ficar muito pequeno (possível se
) prefira a bissecção, pois Newton pode divergir.
Passo 7
Resumo didático e um exemplo qualitativo (sem pedir valores de
):
- Importante: não existe expressão fechada para
em função de . - Para cada
fixo há infinitas soluções : ao menos uma em cada intervalo que intersecte . - Para obter valores numéricos:
- brackete a raiz com
próximos às bordas do intervalo e aplique bissecção; - refine com Newton usando a fórmula do passo anterior.
- brackete a raiz com
Exemplo rápido de interpretação (caso
): a equação vira
. Como
tem assíntotas em
, existe pelo menos uma solução em cada intervalo
que esteja no semieixo
, portanto infinitas soluções positivas; para aproximá‑las procede‑se exatamente como expliquei.
Resposta
Não existe solução em forma fechada para
. Para cada
fixo a equação tem pelo menos uma solução em cada intervalo
logo há infinitas soluções positivas
. Para aproximar numericamente uma solução em um desses intervalos use bissecção para obter um bracket e, se desejar, refine com Newton usando