6 Determine cada um dos lados de um triângulo cujas medidas dos lados são dadas por x,(x+1) e (x+2), e cujo maior ângulo mede 120^{\circ}.
(Dado: \cos 120^{\circ}=-0,5 )

Passo 1

O enunciado dá um triângulo cujos lados medem x, x+1 e x+2, e diz que o maior ângulo do triângulo mede 120^\circ. Como o maior ângulo fica oposto ao maior lado, concluímos que esse ângulo de 120^\circ está oposto ao lado de comprimento x+2. Para resolver, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os três lados de um triângulo com o cosseno do ângulo oposto a um deles.

Passo 2

Aplicando a Lei dos Cossenos ao lado de comprimento x+2, temos
(x)^2 + (x+1)^2 - 2\,(x)\,(x+1)\,\cos(120^\circ) \;=\;(x+2)^2.
Como \cos(120^\circ)=-\tfrac12, substituímos:

Passo 3

x^2 + (x+1)^2 - 2\,x\,(x+1)\,\bigl(-\tfrac12\bigr) = (x+2)^2.
Primeiro expandimos os quadrados e o produto:
x^2 + \bigl(x^2+2x+1\bigr) + x\,(x+1) = x^2 + 4x + 4.
Isso dá
x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + x = x^2 + 4x + 4 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2 + 3x + 1 = x^2 + 4x + 4.

Passo 4

Reagrupando em um lado da igualdade:
3x^2 + 3x + 1 - (x^2 + 4x + 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - x - 3 = 0.
Resolvendo a equação quadrática
2x^2 - x - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4},
portanto
x = \frac{6}{4} = \tfrac32 \quad\text{ou}\quad x = \frac{-4}{4} = -1.
Descartamos x=-1 pois o comprimento de lado não pode ser negativo, ficando x=\tfrac32.

Passo 5

Com x=\tfrac32, os três lados valem
x = \tfrac32,\quad x+1 = \tfrac32 + 1 = \tfrac52,\quad x+2 = \tfrac32 + 2 = \tfrac72.
Verificamos rapidamente a desigualdade triangular ( \tfrac32+\tfrac52=4>\tfrac72, etc.), que está satisfeita, e confirmamos que o maior lado \tfrac72 fica oposto ao ângulo de 120^\circ.

Resposta

Os lados do triângulo medem \tfrac32, \tfrac52 e \tfrac72.

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