Determine cada limite indicando qual propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}-5 x}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}-5x}{x+3},
e também indicar qual propriedade de limites foi utilizada. Informações dadas:
  • A expressão é a razão entre o polinômio \,x^{3}-5x\, e a função linear \,x+3.
  • O ponto de interesse é x=-2.

Passo 2

Lembrete das propriedades que usarei (explicadas de forma simples):
  • Para polinômios e funções polinomiais, a função é contínua em todo ponto; isso significa que o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto. Em notação: se p(x) é um polinômio e a é qualquer número, então
\lim_{x\to a} p(x) = p(a).
  • Regra do quociente de limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Vou aplicar essas duas ideias: calcular separadamente os limites do numerador e do denominador (avaliando as funções em x=-2) e só então usar a regra do quociente se o denominador não for zero.

Passo 3

Calcular o limite do numerador usando continuidade do polinômio \,x^{3}-5x:
\lim_{x\to -2} (x^{3}-5x) = (-2)^{3} - 5(-2).
Agora faço as contas passo a passo:
(-2)^{3} = -8, \qquad -5(-2)=+10,
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(-2)^{3}-5(-2) = -8 + 10 = 2.

Passo 4

Calcular o limite do denominador usando continuidade da função linear \,x+3:
\lim_{x\to -2} (x+3) = -2 + 3 = 1.
Observe que esse resultado é diferente de zero, o que permite aplicar a regra do quociente.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente de limites (já que o limite do denominador é \,1\neq 0):
\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}-5x}{x+3} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to -2}(x^{3}-5x)}{\displaystyle\lim_{x\to -2}(x+3)} = \frac{2}{1}.

Passo 6

Resumo das propriedades usadas:
  • Continuidade de polinômios (usei para avaliar \lim_{x\to -2}(x^{3}-5x)=2 e \lim_{x\to -2}(x+3)=1).
  • Regra do quociente de limites (usei para passar das duas avaliações ao limite da razão, já que o denominador não se anula).

Resposta

2

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